Breve guía matemática para entender la obra de Escher

La nueva exposición de Maurits Cornelis Escher en Madrid, en el Palacio de Gaviria, viene precedida por un éxito internacional (más de 700.000 visitantes en sus emplazamientos previos) que muestra la popularidad del artista holandés. En realidad Escher fue primero admirado por matemáticos y científicos antes de obtener el reconocimiento de los críticos de arte. Es más, muchos matemáticos han usado su obra para representar conceptos, comenzando por su coetáneo el geómetra inglés Donald Coxeter, para ilustrar la noción de simetría. 

En sentido contrario, no hay duda de la influencia de la matemática en la obra de Escher, sobre todo de algunos elementos geométricos, pese a que nunca fue experto en la materia. Él mismo confesó: "Me vengo ocupando de matemáticas sin darme bien cuenta de ello". Escher estuvo obsesionado con las particiones regulares de la superficie y diseñó multitud de mosaicos en los que las figuras blancas y negras (aves, peces, cocodrilos e incluso hombrecillos) se complementan para cubrir la imagen. La disposición de las figuras en sus obras siempre guarda cierta simetría. Estas relaciones de simetría no son arbitrarias, los mosaicos planos solo pueden presentar diecisiete patrones de simetría distintos, llamados grupos cristalográficos. Escher pudo observar algunos de estos en sus visitas a La Alhambra de Granada en 1922 y 1936. 

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Escher también exploró otras formas en sus mosaicos. Su serie Límite circular presenta teselaciones circulares cuyas piezas se hacen infinitamente pequeñas conforme se acercan al borde. Las figuras están inspiradas en el disco de Poincaré, que representa una superficie hiperbólica infinita dentro de un círculo. El adjetivo hiperbólico proviene de que la geometría que presenta ese objeto no es la habitual, sino otra en la que los axiomas de la geometría plana, propuestos por Euclides, no se cumplen. En concreto, el quinto postulado es el que falla: dada una línea y un punto fuera de ella hay al menos dos paralelas a esa línea que pasan por el punto. 

Al negar el quinto postulado de Euclides, y por ello salir del mundo de la geometría plana euclideana que nos es familiar, aparecen solo dos posibilidades: las geometrías elípticas e hiperbólicas. Ninguna más. La esfera es ejemplo de la primera de ellas. El cambio de geometría es radical, al pasar una imagen esférica a una lámina plana, esta se verá deformada. Así ocurre en el famoso autorretrato de "Mano sobre esfera reflectante", donde Escher ilustra su reflejo en una bola de cristal. Se trata de un efecto parecido al que presentan las anamorfosis, dibujos con apariencia deforme o regular dependiendo de dónde se mire. Este tipo de imágenes deformadas pueden observarse al pasear al lado de una carretera, las señales de tráfico pintadas se ven estiradas; o en un campo de fútbol, desde la grada, desde donde las alfombras con anuncios que descansan en los laterales de las porterías no se entienden. Estos objetos encierran mensajes destinados al observador privilegiado, aquel que ve el partido por televisión o que conduce su vehículo. Ellos son quienes disfrutan de la perspectiva acertada para leer el mensaje. 

En su obra, Escher juega con la geometría para plasmar figuras imposibles en las que conviven varias interpretaciones espaciales incompatibles entre sí

En su obra, Escher juega con la geometría para plasmar figuras imposibles en las que conviven varias interpretaciones espaciales incompatibles entre sí. Para ello emplea diestros trazos o sombras que fuerzan al cerebro a dotar de profundidad a una imagen. Combinados genialmente conducen a esos universos imposibles de Escher, como en Cascada, en la que el agua fluye de abajo a arriba, o en Relatividad, donde conviven tres mundos con diferentes leyes gravitatorias. 

Otro elemento matemático que empleó Escher en sus obras fue la conocida banda de Möbius, en su serie Cinta de Möbius. Éste es uno de los objetos más simples que reta nuestra percepción. Se construye fácilmente a partir de una tira alargada de papel, dando media vuelta a uno de sus extremos y uniendo ambos. Una de las peculiaridades de este objeto es que solo tiene una cara. Si se recorre con el dedo, sin levantarlo de ella, se pasa por toda la cinta, por delante y por detrás. Además, es una superficie no orientable. Esta propiedad de algunos objetos geométricos significa que dar una vuelta alrededor de ellos equivale a reflejarse por un espejo, transforma derecha en izquierda y viceversa; por tanto deja de tener sentido hablar de "derecha" e "izquierda", puesto que son indistinguibles. Este tipo de peculiaridades del mundo abstracto de las matemáticas, que contradicen nuestra concepción del mundo real, fueron una fuente constante de inspiración en la obra del artista, en su búsqueda de universos imposibles, y conocerlas nos da las claves para apreciar y entender sus grabados.

Luis Hernández Corbato es investigador postdoctoral Juan de la Cierva en el Instituto de Ciencias Matemáticas. La exposición se puede visitar hasta el 25 de junio de 2017

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.