¿Por qué no se puede cuadrar un círculo?

Cuando hablamos de “la cuadratura del círculo”, nos referimos a algo inútil o imposible de alcanzar. Dicha expresión proviene de un problema que surgió en la antigua Grecia, y que se mantuvo sin solución hasta finales del siglo XIX. Dicho problema, a grandes rasgos, consistía en construir con regla y compás un cuadrado a partir de un círculo dado de antemano. Vamos a hablar de ese tipo de construcciones, con regla y compás, y veremos por qué la cuadratura del círculo es imposible de resolver para estas construcciones.

Antes de meternos con el problema en cuestión, hablemos un poco sobre construcciones con regla y compás. Fue en la Grecia clásica en la que se introdujeron estas construcciones, que se consideraban “ideales”. Esta regla y este compás no son exactamente como la regla y el compás que ahora mismo podéis tener en mente, sino que son idealizaciones de dichos instrumentos que, según la Grecia clásica, deben seguir ciertas normas:

·) La regla se considera infinita, no tiene marcas (es decir, no podemos “medir” con ella) y tiene solamente un borde (vamos, que no podemos usar los dos bordes para, por ejemplo, dibujar directamente dos paralelas). Por tanto, solamente nos sirve para trazar un segmento que una dos puntos ya dibujados (o una recta que pase por ellos), o para prolongar una recta ya trazada.

·) El compás solamente puede trazar circunferencias (o arcos de circunferencias) cuyo centro sea un punto ya construido y cuyo radio sea el segmento entre el centro y otro punto ya construido. Una característica curiosa de este compás es que en el momento en el que lo levantamos del papel “olvida” el radio de la circunferencia que acaba de trazar.

Viendo esto, uno podría pensar que con unas normas tan restrictivas se pueden hacer pocas cosas. Nada más lejos de la realidad: se pueden realizar muchísimas y muy complejas construcciones con la regla y el compás griegos partiendo de solamente dos puntos preconstruidos. Por poner algunos ejemplos simples, se puede construir la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, una paralela o una perpendicular a una recta ya dada y unos ejes coordenados.

También podemos construir puntos. Un punto será construible si es intersección de dos rectas construibles, intersección de dos circunferencias construibles o intersección de una recta y una circunferencia construibles. Por tanto, y teniendo ya los ejes coordenados, podemos construir las proyecciones a los dos ejes de un punto cualquiera que ya estuviera construido, y también el opuesto de un punto construible. Por otra parte, dados dos puntos construibles podemos construir el punto cuyas coordenadas son la suma de las coordenadas de ambos; dados dos puntos de coordenadas (a,0) y (b,0), podemos construir el punto de coordenadas (ab,0); dado un punto de coordenadas (a,0), podemos construir el punto (1/a,0); y dado un punto de coordenadas (a,0), podemos construir el punto (√a,0). Y muchas (pero muchas) cosas más. Un dato más para los que hayan estudiado matemáticas a niveles universitarios: el conjunto de los números complejos asociados a los puntos construibles es un cuerpo contenido (estrictamente) en el cuerpo de los números complejos. Casi nada.

En relación con los puntos construibles, hay un detalle interesante que es importante remarcar: para que un número sea construible, es necesario que sea algebraico (entendemos que un número k es construible si el punto (k,0) es construible). ¿Y qué es un número algebraico? Pues un número que puede obtenerse como solución de una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean números enteros. Por ejemplo, cualquier número racional p/q es algebraico (y, por tanto, construible), ya que es solución de la ecuación qx-p=0; y también hay números irracionales que son algebraicos (y, en consecuencia, construibles), como √2, que es solución de la ecuación x²-2=0.

Ya podemos adentrarnos en nuestro problema, que, por cierto, ya habíamos citado en este artículo. La cuadratura del círculo consiste en construir, con la regla y el compás griegos, un cuadrado que tenga la misma área que un círculo dado previamente. Podéis intentar hacerlo antes de seguir leyendo, pero no podréis. Alguno de vosotros podría “conseguirlo”, pero su construcción tendrá algún error o contendrá algún paso “ilegal”.

Supongamos que nuestra circunferencia tiene radio R, por lo que su área será πR². La historia es construir un cuadrado que tenga esa misma área. Si el lado de ese cuadrado mide L, su área será L². Si conseguimos construir el número L, el problema estaría resuelto afirmativamente.

Para buscar la expresión de L, igualamos las áreas y tomamos raíz cuadrada a ambos lados, obteniendo que L=R · √π. Como R es construible (es el radio de la circunferencia inicial), para que L se pueda construir debemos poder construir el número √π. Y aquí está la clave: el número √π no es construible porque el propio π no es construible, ya que si √π fuera construible podríamos construir el número √π · √π=π.

La razón por la que π no es construible es que π no es algebraico (recordad que antes hemos comentado que para que un número sea construible es necesario que dicho número sea algebraico). Y este hecho fue demostrado por Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882 (en este enlace podéis ver una demostración). Estos números que, como π, no son algebraicos se denominan trascendentes. El mundo de los números trascendentes también tiene características muy interesantes, como que hay más trascendentes (infinito no numerable) que algebraicos (infinito numerable) pero se conocen explícitamente muy pocos: π, el número e o la constante de Liouville (el primer número que se demostró que era trascendente) son algunos ejemplos.

Esto cierra el problema…pero parece que no para todos, ya que, incluso actualmente, sigue habiendo gente que cree haber resuelto de manera afirmativa el problema de la cuadratura del círculo. Todas las supuestas demostraciones en esta línea que os podáis encontrar contendrán, como comenté antes, algún error o algún paso ilegal según las normas griegas. Y teniendo el problema ya cerrado, es imposible cuadrar un círculo, ni merece la pena buscar el error.

Para finalizar, os animo a intentar hacer vosotros mismos algunas de las construcciones con regla y compás que comento en el artículo, o cualquier otra que se os ocurra, y a que nos comentéis cualquier duda que os pueda surgir al intentar realizarlas.