Día pi: el número que fascina a los matemáticos

Que la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y su diámetro sea una constante universal, a la que los griegos llamaron Pi, fue un gran descubrimiento de la antigüedad. Sobre pi poseemos una extensa gama de conocimientos: su desarrollo decimal comienza con 3,14159… (con la ayuda de las modernos supercomputadores conocemos hoy cientos de miles de millones de sus cifras decimales); es un número irracional, es decir, no es igual al cociente de dos enteros; no es tampoco raíz de ningún polinomio cuyos coeficientes sean enteros, y eso implica que el círculo no puede ser cuadrado con regla y compás.

No obstante, pi reserva todavía muchos misterios a los matemáticos del siglo XXI, y su historia está  plagada de anécdotas jugosas y relaciones interesantes. Una de mis favoritas es la siguiente: si sumamos los recíprocos de todos los números enteros elevados al cuadrado, se obtiene pi al cuadrado dividido por 6 (el recíproco de un entero n es la fracción 1/n). No deja de sorprenderme que la razón entre la circunferencia y su diámetro aparezca en una suma en la que están los recíprocos de los cuadrados de todos los números.

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Me confieso afortunado por haber logrado una nueva manera de calcular el valor de esa suma, que puede entender un estudiante avanzado de secundaria, y que ilustra claramente como, para demostrar una verdad sobre algo tan discreto como son los enteros, resulta conveniente echar mano de utensilios “continuos” del cálculo diferencial. No obstante, el primero en saber su valor fue el gran Leonhard Euler, hacia 1734. Euler definió para cada número entero n la función z(n) como la suma de los recíprocos de las n-ésimas potencias de enteros. Obtuvo una fórmula general que involucra al número Pi cuando la potencia es un número par, pero el caso de exponente impar es todavía terra incognita. En el año 1978 el matemático francés Roger Apery demostró que la suma de los recíprocos de los cubos de los números enteros es un número irracional, pero su ingeniosa demostración no sirve para otros impares.

Euler ya se dio cuenta de la importancia de la función z(n) en la teoría de los números primos, pero fue el matemático alemán Bernard Riemann quién desveló las consecuencias que las propiedades de la función z(s), con s no necesariamente entero, tienen para conocer la distribución de los números primos en la sucesión de los enteros. Así se logró demostrar el llamado “Teorema de los Números Primos”, que dice que la densidad de primos en torno a un número n es proporcional a 1/(número de cifras de n). Una de las predicciones importantes que hizo Riemann sobre su función, la llamada “Hipótesis de Riemann”, se ha resistido hasta ahora a los matemáticos y forma parte de esa colección de “Problemas del Milenio” que tienen asignada una recompensa de un millón de dólares.

Si elegimos al azar dos números enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre sí es igual a 6 dividido por el cuadrado de Pi

Otra expresión intrigante en la que aparece pi es de naturaleza aleatoria. Si elegimos al azar dos números enteros, entonces la probabilidad de que sean primos entre sí (es decir, que no tengan divisores comunes) es igual a 6 dividido por el cuadrado de pi (0,611…) Para calcular esa proporción Euler utilizó la función φ(n), que ahora llamamos de Euler en su honor, y que asigna a cada entero n el número de enteros menores que él que son primos con él. Euler obtuvo una expresión para los promedios de esa función, que nos da la probabilidad buscada y en la que de forma explícita aparece el número pi a través, precisamente, de la suma de los recíprocos de los cuadrados de los números enteros.

La función de Euler es también importante por muchas otras razones: está presente en numerosas fórmulas de la teoría de números y en otros contextos de la ciencia, tales como son el cifrado de mensajes y la seguridad de nuestras comunicaciones por Internet. Seguir su pista, y también la de pi, a través de los trabajos de Alan Turing y otros lógico-matemáticos, nos llevaría a la moderna teoría de la computación, que tanto ha cambiado nuestro mundo.

Pero cuanto más aprendemos sobre pi, más misterios surgen. Por ejemplo, ignoramos si se trata de un número normal, es decir, si en su desarrollo decimal en cualquier base se encuentran todas las sucesiones finitas de dígitos con la frecuencia que les corresponda por su tamaño. Tampoco sabemos si al sumar, o al multiplicar, Pi con el número e=2.718… (tan importante como pi y cuya irracionalidad fue demostrada por Euler) el resultado es racional o irracional.

Antonio Córdoba es Catedrático de Análisis de la Universidad Autónoma de Madrid y director del Instituto de Ciencias Matemáticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.