Smullyan, Cantor y el infinito

Aunque el hotel de Hilbert esté completo, para conseguir una habitación libre bastará con que cada huésped se traslade a la habitación contigua: el de la 1 a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4, y así sucesiva e indefinidamente; de este modo, la habitación 1 quedará libre.

Para que queden libres infinitas habitaciones, cada huésped se puede trasladar a la habitación cuyo número es el doble del de la que ocupa: el de la 1 se traslada a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6… De este modo quedarán libres las infinitas habitaciones de número impar.

Para alojar en un solo hotel a los infinitos huéspedes de los infinitos hoteles de Hilbert, asignamos a cada huésped un par de números, el primero corresponde al hotel en el que se aloja y el segundo es su número de habitación; así, al huésped que ocupa la habitación 1 del primer hotel le asignamos el par 1-1, al que ocupa la habitación 2 del primer hotel el 1-2, al de la habitación 1 del segundo hotel el 2-1… Ahora el problema es análogo al de numerar todas las parejas de números naturales posibles, que vimos la semana pasada; y si podemos numerar todas las parejas, también podemos asignarles una habitación a cada una, puesto que en el hotel de Hilbert que queda abierto hay infinitas habitaciones que se corresponden con los infinitos números naturales.

Satán, Cantor y el infinito

La mejor -y la más divertida- introducción al tema del infinito y sus inquietantes paradojas que conozco es el libro de Raymond Smullyan Satán, Cantor y el infinito. Veamos algunos de los problemas que, al respecto, Smullyan propone a los lectores; pero antes dejemos clara la definición de infinito que se maneja en matemáticas:

Decimos que un conjunto es finito si existe un número natural N tal que el conjunto tiene exactamente N elementos (lo que significa que los elementos del conjunto pueden ponerse en correspondencia 1 a 1 con los números enteros positivos de 1 a N). Si no existe un tal número N, el conjunto es infinito.

Obsérvese que se trata de una definición por exclusión: conjunto infinito es el que no es finito.

Y ahora que contamos con una definición precisa, intentemos articular una demostración rigurosa de lo obvio, cosa que a menudo es más difícil de lo que parece: demostrar que si a un conjunto infinito le quitamos un elemento, sigue siendo infinito.

Y retomando las enumeraciones de la semana pasada: ¿es numerable el conjunto de todos los conjuntos finitos de números naturales?

¿Y el conjunto de todos los conjuntos de números naturales, tanto finitos como infinitos?

En cierto mundo con infinitos habitantes, todo conjunto de habitantes constituye un club. Al empadronador de ese mundo le gustaría dar a cada club el nombre de un habitante, de manera que no haya dos clubes con el mismo nombre y que cada habitante tenga un club que lleva su nombre. ¿Es ello posible?

Y para terminar, ¿por qué este artículo se titula Smullyan, Cantor y el infinito si en él no se habla de Cantor en absoluto?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’