Extrañas particiones

Curiosamente, el problema de la balanza defectuosa propuesto la semana pasada confundió a algunos de nuestros sagaces lectores; y sin embargo se resuelve con una sencilla regla de tres (que en este caso es una “regla de dos”): si llamamos x al peso del lingote, 4 es a x como x es a 9, luego x² = 36, x = 6. El lingote pesa 6 kilos (y no 6,5 como han estimado algunos).

En cuanto al vendedor tramposo, supongamos, para simplificar los cálculos, que compra la tela a 10 euros el metro. Para ganar el 30 % ha de venderla a 13; pero si su metro mide menos de un metro, su ganancia será mayor. Si llamamos x a la longitud real de su metro, lo que a él le cuesta 10x lo vende a 13, luego su porcentaje de beneficio será (13 – 10x) /10x = 33/100, de donde x = 0,977. El metro del vendedor tramposo mide, redondeando, 98 centímetros (en este caso -como en otros que hemos visto en anteriores columnas- el redondeo viene a cuento, pues al cortar una tela siempre hay un margen de error de uno o dos centímetros).

El problema de los dados defectuosos tiene una curiosa solución: da igual qué dado elija el segundo jugador, pues su probabilidad de ganar será siempre del 50 %. En efecto, cada una de las 6 caras de un dado puede combinarse con cada una de las 6 caras del otro, por lo que hay 6 x 6 = 36 emparejamientos posibles. Si llamamos x al número de caras en blanco del segundo dado, las combinaciones blanco-blanco serán 3x, y las combinaciones número-número serán 3(6 – x), en total 3x + 18 – 3x = 18, independientemente del valor de x.

Particiones y repartos

1. Sigamos con los dados. Un fabricante de juegos de mesa tiene un cubo de madera de 9 centímetros de lado y desea dividirlo en 27 cubitos de 3 centímetros de lado con objeto de convertirlos en otros tantos dados. Durante la operación, puede reagrupar como desee los trozos resultantes de cada corte para serrarlos juntos. ¿Cuántos cortes tendrá que hacer, como mínimo, para dividir el cubo en 27 cubitos?

2. Un niño sale de casa con un paquete de caramelos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha hecho con ellos y el niño contesta:

-A cada amigo que me he encontrado le he dado la mitad de los caramelos que tenía más uno.

-¿Y a cuántos amigos te has encontrado?

-A seis.

¿Cuántos caramelos tenía el niño al salir de casa?

3. Tenemos seis números naturales (enteros y positivos) comprendidos entre los diez primeros. Al menos cinco de ellos son distintos, y pueden dividirse en dos grupos de tres de forma que la suma de los números de un grupo sea igual a la suma de los del otro, y la suma de los cuadrados de los de un grupo sea igual a la suma de los cuadrados de los del otro. ¿Qué números son?