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El acertijo de los posavasos

Una adivinanza supuestamente aparecida en un posavasos de un bar y una indigestión de pastelillos navideños. Buen provecho.

La semana pasada se pedía hallar el punto de un triángulo cuya suma de distancias a los vértices es mínima; pues bien, ese punto se conoce como punto de Fermat, o de Fermat-Torricelli (pues parece ser que Fermat le planteó el problema a su colega Torricelli y este lo resolvió), y se puede hallar mediante la construcción de la figura.

Sobre cada lado del triángulo, ABC, construimos un triángulo equilátero, y luego unimos los vértices de ABC con los respectivos vértices exteriores de los triángulos opuestos; el punto de intersección de los segmentos así obtenidos es el punto de Fermat (dejo la demostración en manos de mis sagaces lectoras y lectores).

Hay una elegante demostración gráfica de que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto (llamado ortocentro). Trazamos por cada vértice del triángulo una paralela al lado opuesto, y de este modo obtenemos otro triángulo cuyas mediatrices son las alturas del primero; y las mediatrices de un triángulo se cortan en el punto que equidista de los tres vértices. Esto último es fácil de demostrar: por definición, todos los puntos de la mediatriz del lado A’B equidistan de los vértices A’ y B’, y todos los puntos de la mediatriz del lado A’C’ equidistan de los vértices A’ y C’; por lo tanto, el punto de intersección de ambas mediatrices equidista de B’ y C’, luego también pertenece a la mediatriz del lado B’C’.

En cuanto al triángulo amoroso, si llamamos A, B y C a los tres jugadores de acuerdo con sus iniciales, la pelota solo puede recorrer dos circuitos: ABC y AC. Como ambos circuitos son igualmente probables, de cada cinco pases (ABC + AC) la pelota irá dos veces a A, dos veces a C y una a B. Las probabilidades respectivas son, por tanto, 2/5, 2/5 y 1/5.

Posavasos y pastelillos

Este acertijo (véase la imagen que encabeza la noticia, arriba a la izquierda), supuestamente aparecido en un posavasos de un bar, ha arrasado en las redes sociales en los últimos días: se trata de entrar por la izquierda en el circuito de la figura y salir por la derecha, pasando alternativamente por puntos de distinto color, o sea, según la secuencia rojo-azul-rojo-azul-rojo…

Y para empezar el año con buen pie, otro recorrido peculiar, esta vez un clásico navideño del gran Henry Dudeney, maestro de inventores de acertijos. Según una vieja tradición, tendrás tantos días de suerte al año siguiente como pastelillos de ciruela comas en Navidad, de modo que aquí tienes la ocasión de conseguir un buen número de ellos.

No es difícil recorrer los 64 pastelillos de la figura sin pasar dos veces por ninguno de ellos, pero la cosa se complica si hay que empezar por el pastelillo de la parte superior marcado con una ramita de acebo y hay que efectuar 21 trazos rectos, el último de los cuales ha de terminar en el otro pastelillo marcado con la ramita de acebo en la parte inferior y, además, antes hay que llegar al pastelillo humeante de la última fila al final del décimo trazo. Buen provecho.