Solución española para un problema de John Nash

Dos jóvenes matemáticos españoles han explorado una singularidad, un interesante concepto matemático que puede visualizarse, por ejemplo, como el punto en que se unen dos cilindros resultantes de estrujar completamente un cilindro, y han resuelto una conjetura planteada en los años sesenta por John Nash, el matemático que recibió el premio Nobel de Economía en 1994 y que alcanzó la popularidad con la película Una mente maravillosa, que narra su vida y su lucha con la esquizofrenia paranoide que padece. Javier Fernández de Bobabilla, de 38 años, y María Pe Pereira, de 30, han logrado demostrar que la intuición del genial matemático estadounidense es correcta, en dos dimensiones. Es el resultado de tres años de trabajo (que puede considerarse poco tiempo para un reto de este tipo) de estos dos investigadores, que acaban de presentar su trabajo a sus colegas haciéndolo público en Internet y facilitando su análisis minucioso por parte de especialistas en el tema antes de publicarlo en una revista científica. Su enfoque novedoso y sus resultados "está siendo toda una sorpresa para los especialistas en el problema de Nash", afirman los responsables del programa Ingenio I-Math.

"Lo importante en este caso ha sido dar con la idea", explica Fernández de Bobadilla. "Hemos resuelto el problema de Nash con técnicas sorprendentemente sencillas, casi elementales, aunque por supuesto nos basamos en desarrollo previos de otros investigadores. Se trata de un trabajo de matemáticas puras. "Ahora entendemos algo importante que antes no entendíamos y eso acabará teniendo aplicaciones", dice Fernández de Bobadilla, del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en Madrid, que tiene una beca del Consejo Europeo de Investigación.

"Un matemático lanza una conjetura cuando intuye que algo es cierto pero no lo pude demostrar", continúa Fernández de Bobadilla. "El esfuerzo por demostrar las conjeturas hace avanzar las matemáticas, y las matemáticas no son sino la forma más rigurosa de pensamiento". La conjetura de Nash, que, a sus 82 años, sigue trabajando en la Universidad de Princeton (EEUU), se refiere a las singularidades. "Los fenómenos en que aparecen cambios instantáneos de comportamiento tienen singularidades: la formación de tornados en la atmósfera, cuando un metal se rompe al ser sometido a temperaturas muy altas o cuando el espacio-tiempo se curva tanto que se forma un agujero negro", explica I-Math. Todas las singularidades se pueden imaginar a partir de un objeto liso en que una parte se comprime dando lugar a la singularidad, y en el ejemplo del cilindro de papel retorcido y estrujado en el centro, una de las circunferencias que rodea a dicho cilindro se estaría comprimiendo en el vértice de los dos conos. "Este conjunto que se comprime o colapsa es lo que los matemáticos llaman lugar excepcional.

¿Sería posible, por ejemplo, hacer correr la película marcha atrás y deducir cuál es e lugar excepcional que ha sido comprimido para generar la singularidad? Los expertos en singularidades han aprendido, por ejemplo, a extraer información a partir de las posibles trayectorias de las partículas que atraviesan una singularidad los posibles recorridos de una canica microscópia rodando por la pared interna del cilindro retorcido-. Estas trayectorias se agrupan en familias según su comportamiento y lo que propuso Nash -y no demostró- es que existe una determinada relación entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias que atraviesan la singularidad, y que en objetos de dos dimensiones (superficies) hay una correspondencia perfecta entre la forma del lugar excepcional y las familias de trayectorias.

Esa relación no se da en singularidades de objetos de cuatro o más dimensiones, según demostraron en 2003 Janos Kollar (Universidad de Princeton) y Shihoko Ishii (Instituto Tecnológico de Tokio. Ahora Fernández de bobadilla y Pereira han demostrado que la conjetura sí es cierta para dos dimensiones y, por tanto, Nash tenía razón a mediados de los años sesenta.

"Desde el punto de vista matemático es un problema muy bonito, con un enunciado sencillo y que, además, ha podido ser entendido con técnicas relativamente elementales, lo que es una suerte para un matemático", comenta Pereira (Instituto Jussieu, Paris). Estos dos matemáticos han aplicado, para la demostración de la conjetura, herramientas de la topología.