La solución del desafío | Múltiplos de Pi que pretenden ser enteros

Con motivo del Día de Pi, EL PAÍS lanzó un desafío a sus lectores preguntándoles si había algún múltiplo de Pi que distara de algún entero menos que 0.00000000000000000001.

El lector José Burillo Puig ha argumentado correctamente la existencia de ese múltiplo, aunque para ello utiliza un resultado sobre la aproximación de Pi por fracciones continuas, cuyo conocimiento no se presuponía a los lectores. Armando Jiménez Galán, Javier García, Francisco José Alcázar y Héctor López Martínez han respondido afirmativamente argumentando que 0xPi =0 es un múltiplo de Pi que está a distancia cero de un entero. Aunque la solución es formalmente correcta, se sobreentendía que la pregunta del problema se refería a múltiplos enteros positivos de Pi como los de los tres ejemplos que se mencionan.

La solución proporcionada por el profesor Javier Cilleruelo, que no requiere profundos conocimientos matemáticos, es la siguiente.

Respuesta: De hecho vamos a probar que para todo N existe un múltiplo de Pi que dista de un entero menos que 1/N. Para verlo dividimos el intervalo [0,1] en N intervalos de longitud 1/N y consideramos los N números Pi, 2*Pi, 3*Pi,…., N*Pi. Si la parte decimal de alguno de estos N números está en el primer intervalo, hemos acabado. Si no es así, las N partes decimales de estos números tienen que caer en los N-1 intervalos restantes. Pero eso significa que en alguno de esos N-1 intervalos caerán al menos dos de las partes decimales, digamos aquellas correspondientes a r*Pi y a s*Pi para algunos enteros positivos r y s con r<s. En ese caso (s-r)*Pi dista de un entero menos que 1/N, lo que da una respuesta afirmativa al problema planteado.