Una dura elección

Ya hay solución para el vigésimo noveno desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Javier Fresán, estudiante de doctorado en Matemáticas en la Université Paris 13 Nord, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 585 respuestas, de las que el 85% eran correctas. Una vez realizado el sorteo, el ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido Juan Francisco Rodríguez Calvo, de Puertollano (Ciudad Real). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, La música de las esferas, de Rosa Maria Ros.

Recordemos el problema: consistía en calcular el porcentaje de votos necesarios para que, en unas elecciones a las que se presentan n candidatos, podamos garantizar que el ganador por mayoría lo sería también si se aplicase el método de Borda. En este último sistema de recuento, cada elector debe colocar a todos los candidatos según su orden de preferencia y a continuación se asigna un punto al candidato si está en última posición; dos, si aparece en penúltima; tres, en antepenúltima; y así sucesivamente...

La respuesta correcta al desafío es que la fracción de votos debe ser estrictamente superior a 1-1/n, o bien, si queremos expresarlo como porcentaje, al 100-100/n % de los votos. Por tanto, a medida que aumenta el número de candidatos, se requiere una práctica unanimidad. Como señalan varios lectores, el porcentaje mínimo llegaría al 100% si todos los electores fueran al mismo tiempo candidatos. Veamos a continuación la prueba.

Además del dato del problema (n candidatos), introduciremos dos nuevas variables: el número total de electores, que llamaremos E, y la cantidad de votos que recibe el ganador por mayoría, digamos v. La fracción que se desea calcular es, por tanto, v/E.

La idea de la solución consiste en examinar la situación más desfavorable para el candidato ganador. Si garantizamos que, en ese caso, también se declararía vencedor por el método de Borda, entonces tendremos la garantía de que lo hará siempre. Y la situación más desfavorable posible se produciría con estas dos condiciones:

1. Todos los electores que no han votado al ganador lo colocan en última posición en su lista.

2. Existe otro candidato al que todos aquellos que no han votado al ganador colocan en primer lugar y quienes sí lo han votado lo sitúan segundo.

Ahora solo queda contar cuántos puntos recibirán el ganador y el otro candidato según el método de Borda y plantear una desigualdad entre ambas cantidades.

Empecemos por el ganador: obtendrá n puntos por cada uno de los votantes que lo colocan en cabeza de la lista y un único punto por todos los que lo sitúan en última posición. En el primer grupo se encuentran los v votantes que lo han elegido y en el segundo el resto de los lectores, es decir, E-v personas. Por tanto, los puntos del candidato ganador según el método de Borda son vn+(E-v).

En cuanto al otro candidato, recibirá n puntos por cada uno de los E-v electores que lo han situado en primera posición y n-1 puntos de cada uno de los v votantes que han elegido al ganador, pues ellos lo sitúan en segundo lugar en su lista de preferencias. Esto da un total de (E-v)n+v(n-1) puntos.

Por tanto, para que el ganador por mayoría se declare ganador también por el método de Borda sea cual sea la configuración de las preferencias de los votantes, es preciso que se verifique la desigualdad vn+(E-v)>(E-v)n+v(n-1). Pasando el término E-v al otro lado, vemos que esto equivale a vn>(E-v)(n-1)+v(n-1)=E(n-1). Por tanto, como anunciamos al comienzo de la solución, la fracción v/E que buscamos debe ser estrictamente mayor que (n-1)/n=1-1/n. Lo que expresado como porcentaje equivaldría al 100-100/n % de los votos.

Muchos lectores han ilustrado su solución con casos prácticos, que van desde elecciones a Parlamentos autonómicos hasta el problema de la decisión de un destino para el viaje de fin de carrera. Otros muchos nos han hecho llegar sus reflexiones ante un asunto que han sentido próximo. Son los casos de Steve Wets, quien agradece desde Tailandia que el desafío le haya "abierto la mente sobre el sistema electoral"; o de Tomeu Gamundi, quien reconoce que "ha sido divertido y difícil obviar jocosas comparaciones políticas". En esta línea, y con algo más de mordacidad, Luis J. Fernández de las Heras nos indica que "este problema de aritmética electoral es tan sencillo que hasta los políticos sabrían resolverlo, con ayuda de su grupo de asesores por supuesto".

En general, la mayoría de quienes han enviado soluciones muestran su sorpresa ante el grandísimo porcentaje de apoyos requerido para que ambos métodos den siempre al mismo ganador. Iago Vaamonte Paniagua ve en ello "la utopía hecha realidad, pues basta un 1/n de indignados para vetar a un candidato según el método de Borda". También Enrique J. Fernández Pastor considera que se favorece así la "desconcentración del poder, al obligar al votante a pensar en todos los posibles candidatos".

Pero no han faltado las voces críticas con el método de Borda: Carlos Santos Ramos lo encuentra un "sistema muy poco práctico, probablemente concebido para reconciliar a unas partes de por sí irreconciliables"; mientras que Enrique Boto considera el planteamiento "demasiado exigente" ya que "es muy improbable que un ganador por mayoría quede último en las preferencias de los que no lo han votado en primer lugar y que otro candidato solo obtenga primeras o segundas posiciones". También Fernando Puente de Vera estima que "el método en bruto no es demasiado justo", por susceptible al "voto de venganza".

No quisiéramos despedirnos sin felicitar a Joaquín Montesanto, quien nos cuenta desde Málaga que ha resuelto el desafío en el hospital, con su hijo Gael recién nacido sobre su pecho, y apunta que "quizá este primer contacto con las matemáticas le haga ser un apasionado de esta ciencia como su padre". ¡Que así sea!

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Una dura elección

Una paradoja electoral