La intuición matemática de Ramanujan

A primera vista, ¿ves algo especial en el número 1729? Srinivasa Ramanujan, matemático indio autodidacta en el que se basa la película El hombre que conocía el infinito (Mark Brown, 2016), sí. Según una conocida anécdota, un día el también matemático G. H. Hardy le comentó que el taxi que acababa de tomar tenía como matrícula un número vulgar, el 1729. A lo que Ramanujan contestó que no, en absoluto, sino que era un número de gran relevancia: es el menor entero que puede ser expresado de dos maneras distintas como suma de dos números elevados al cubo: 1729 = 1³ + 12³ = 9³ +10³.

Ramanujan tenía la capacidad de captar las estructuras subyacentes de los números. No tenía una mente matemática típica: prefería centrarse en los ejemplos significativos antes que en  construcciones más generales, obviando las demostraciones rigurosas. Esto chocó con la metodología de Hardy, a quien no le bastaba con ver, sino que necesitaba la cadena de silogismos que exige el método deductivo. Hardy conocía suficientes ejemplos de conjeturas ilustradas con pocos casos que luego resultaban falsas.

Pese a no disponer de formación académica (hecho que fue fuente de los ataques de sus colegas más conservadores, como bien retrata el biopic), la intuición aritmética de Ramanujan le permitía observar cancelaciones ocultas, patrones y simetrías en series numéricas, construir fórmulas, identidades y cálculos. Su visión algebraica y combinatoria y sus habilidades de manipulación de series, algoritmos, fracciones continuas estaban por encima de la mayoría de los matemáticos. Durante los cinco años que estuvo en Cambridge publicó veintiún artículos de investigación.

Entre los manuscritos con teoremas y fórmulas que maravillaron a Hardy, y que le valieron la invitación para viajar a Inglaterra desde su Madrás natal, había igualdades de integrales, sumas con raíces anidadas y expresiones similares. Algunas ya habían sido publicadas por matemáticos de renombre, aunque Ramanujan no las conocía. Su primer resultado formal, publicado en el Diario de la Sociedad Matemática de la India, antes de su viaje a Inglaterra, fue sobre las propiedades de los llamados números de Bernoulli: descubrió que los denominadores de las fracciones de números de Bernoulli eran siempre divisibles por seis.

Ramanujan tenía la capacidad de captar las estructuras subyacentes de los números. No tenía una mente matemática típica: prefería centrarse en los ejemplos significativos antes que en construcciones más generales

La respuesta de Hardy muestra la fuerte impresión que le causó el genio del matemático indio: “Estas fórmulas me derrotaron completamente. Yo no había visto antes nada como esto. Una simple mirada resulta suficiente para darse cuenta de que solamente las podría haber escrito un matemático de primera clase. Deben ser verdad, porque nadie puede tener la imaginación suficiente para inventárselas”. “¿De dónde vienen estas fórmulas, y por qué son verdaderas?”

Uno de sus resultados más bellos es el magnífico Método del Círculo de Hardy-Ramanujan y Littlewood, que los dos primeros introdujeron para obtener su fórmula de las particiones, central en la trama de la película de Brown. Las particiones de un número n son el número de sus posibles descomposiciones en sumas de enteros positivos. Por ejemplo, P(4) = 5, porque 4 = 1+1+1+1 = 2+1+1 = 3+1 = 2+2 =4. Cuando n aumenta, P(n) se hace inmenso, por ejemplo, p(200) = 3.972.999.029.388. Hardy y Ramanujan lograron hallar una fórmula asintótica (es decir, no era exacta, pero cuando n se hacía muy grande, el error relativo de la fórmula tendía a cero) para calcular las particiones de cualquier número. El método del círculo enseguida se aplicó a varios problemas de la teoría de números, como el llamado problema de Waring, que consistía en calcular la representación de un número como suma de potencias k-ésimas, o la famosa conjetura de Goldbach: ¿es todo par mayor que dos la suma de dos primos?

Muchas de las aportaciones de Ramanujan fueron enunciados y no demostraciones. Esta es una de las tensiones que se presentan en el film. Él alcanzaba resultados novedosos sin apoyarlos en demostraciones formales, lo que era inaceptable para Hardy y para el método científico occidental: el resultado debía de ser replicable (es decir, otro matemático debía poder seguir la demostración). Sus dos cuadernos (que registró en Madrás) contienen cientos de fórmulas, el primero, con 351 páginas; el segundo, con 56 páginas; y el tercero con 33 páginas; años después se descubrió un cuarto cuaderno. En la película se da una visión algo distorsionada de la intuición de Ramanujan, da a entender que no necesitaba demostraciones porque “veía” las verdades matemáticas iluminado por la diosa hindú de su familia. Sin embargo, es más posible que en India desarrollara las demostraciones en pizarra, pero no las anotara porque el papel era muy caro; o porque el estilo de los libros con los que había estudiado era de esta manera; o simplemente porque guardaba sus resultados por interés personal, sin más pretensiones.

Lo cierto es que no pudo terminar las demostraciones completas de sus anotaciones por falta de tiempo: falleció con tan solo 32 años. Sin embargo, sus cuadernos inspiraron numerosos trabajos de matemáticos posteriores, que trataron de demostrar sus enunciados. Sus ideas tienen más implicaciones que las que se observan a primera vista, e incluso han abierto nuevas direcciones de investigación. Suyas son fórmulas que incluyen intrigantes series infinitas para pi, que de hecho se siguen usando hoy en día para aproximar el valor de este número, ya que convergen extraordinariamente rápido (el resultado aproximado se acerca al valor de pi con un número relativamente pequeño de iteraciones). Su legado, ahora retratado por Hollywood, va más allá del exotismo de su figura, y supone un pilar de la teoría de números moderna.

Algunas referencias de Ramanujan:

- Collected Papers of S. Ramanujan, AMS.ISBN 0-8218-2076-1;

- S. Ramanujan (1957): Notebooks, Tata Institute;

- S. Ramanujan (1988): The Lost Notebook;

- “Ramanujan: Letters and Commentary”, Bruce Berndt y Robert A. Rankin (AMS y London Math. Society).

Antonio Córdoba es director del ICMAT y catedrático de la UAM. Ágata Timón G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Comunicación del ICMAT.