Fourier y el estudio profundo de la naturaleza

Joseph Fourier (1768-1830), o Jean Baptiste Joseph Fourier si escribimos por una vez su nombre completo, posee el apellido que aparece con mayor frecuencia en los artículos de investigación matemática publicados cada año. Éste da nombre a un método (el de Fourier), a unos instrumentos (series, integrales y transformadas de Fourier) y a una disciplina (análisis de Fourier, también llamado Armónico). Suya es la frase “el estudio profundo de la naturaleza es la mina más fértil de los descubrimientos matemáticos”, que es la favorita de los matemáticos aplicados y de quienes, a la manera platónica, estiman que las “matemáticas se descubren en mayor medida que se crean”. A lo que el idealista Carl Gustav Jacobi contestó: “Es cierto que Fourier opinaba que el principal objetivo de las matemáticas radica en su utilidad pública y en la explicación de los fenómenos naturales; pero un filósofo como él debe saber que el único objetivo de la ciencia es el honor del espíritu humano y que, desde ese punto de vista, un problema de teoría de números es tan valioso como otro sobre el sistema del universo”.

Hoy se cumplen 186 años de su fallecimiento, cuando una dolencia cardiaca acabó con su vida a los 62 años, un 16 de mayo en París. Poco antes había regresado a su ciudad natal tras una larga estancia en Inglaterra, al ser nombrado Secretario Permanente de la Academia Francesa de las Ciencias.

El joven Fourier consiguió estudiar en la prestigiosa Ecole Normale de París, pese a que nació en el seno de una familia humilde, y después fue nombrado consejero científico de la expedición egipcia de Napoleón. Pero su mayor logro fue, sin duda, contribuir a comprender la naturaleza del calor: entender las leyes que gobiernan su propagación era un problema candente a comienzos del siglo XIX, relevante tanto para la industria metalúrgica de entonces, como para el afán humano de conocer la temperatura en el interior de la Tierra y la manera en como ésta cambia con el tiempo y la profundidad. Fourier creó un modelo que supuso un hito en el uso de las matemáticas para dominar la naturaleza y también dio lugar a un método con otras muchas aplicaciones. En el camino, propició el desarrollo de varias teorías analíticas necesarias para ponerlo a punto y explotar sus consecuencias.

El modelo de Fourier parte de dos observaciones sencillas sobre la propagación del calor, que podían ser cuantificadas en los laboratorios disponibles en su tiempo:

1) La conductividad: el calor fluye de las partes calientes a las frías, y la relación es de proporcionalidad inversa; es decir, si nos acercamos a la mitad de la distancia, recibiremos el doble de calor, siendo la constante de proporcionalidad (o conductividad térmica) susceptible de ser medida en el laboratorio.

Fourier creó un modelo que supuso un hito en el uso de las matemáticas para dominar la naturaleza y también dio lugar a un método con otras muchas aplicaciones

2) El calor específico: es la cantidad de calor que necesita un gramo de una sustancia para elevar en un grado su temperatura.

Estas leyes eran conocidas por los contemporáneos de Fourier, pero él logró ir mucho más allá en el proceso de modelización haciendo uso del cálculo diferencial y estableciendo una ecuación, la ahora llamada ecuación del calor, que gobierna la evolución de la temperatura respecto a variaciones tanto espaciales como temporales. Se trata de una ecuación diferencial que relaciona la derivada temporal de la temperatura (es decir, su velocidad de cambio) con sus derivadas espaciales de segundo orden (que son cantidades relacionadas con las propiedades de difusión y conductividad del calor). El cálculo, inventado por Newton y Leibniz en el siglo XVII, fue el instrumento adecuado para darle sentido a esta ley. No hace falta conocer estas herramientas matemáticas para maravillarse de la concisión y precisión de la expresión a la que llegó Fourier, que permite describir y calcular algo tan complicado como es la evolución de la temperatura de un objeto real.

Con todo ello, Fourier escribió un primer artículo sobre este asunto que sometió a la Academia Francesa de Ciencias en 1807, donde fue analizado por los matemáticos Lagrange y Laplace, quienes declinaron su publicación por una supuesta falta de rigor matemático. Aunque, al mismo tiempo, le animaron a que desarrollara sus ideas pues la propagación del calor era susceptible de recibir el Gran Premio de la Academia, que efectivamente obtuvo en 1812 con una versión revisada de su trabajo. Sin embargo seguía siendo criticado por lo aventurado de su método para resolver la ecuación y precisar estas ideas entonces visionarias de Fourier se convirtió en un motor del desarrollo del análisis matemático, que todavía perdura.

En realidad, Fourier se basó en las técnicas que otros dos matemáticos, Daniel Bernoulli y Leonhard Euler, habían introducido en torno a otra ecuación famosa de las matemáticas, la de las ondas y, en particular, aquella que describe la vibración de las cuerdas de un instrumento musical. Bernoulli y Euler echaron mano de sumas de funciones trigonométricas que muchos siglos antes habían utilizado los matemáticos alejandrinos para analizar los movimientos celestes y cuyo estudio estaba sistematizado en el Almagesto de Claudio Ptolomeo. Que estas sumas de funciones trigonométricas, senos y cosenos, sirvan para representar los distintos armónicos de un sonido musical no debiera sorprendernos demasiado. Que también resulten útiles para entender la propagación del calor es algo mucho menos obvio, pero eso es lo que decía Fourier junto a la afirmación, entonces inaudita, de que toda función podía ser expresada como una suma. Tuvieron de pasar muchos años para que, a mediados del siglo XX, se dispusieran finalmente los instrumentos necesarios para darle la razón a Fourier, con todas las salvedades que son precisas. Pero sin su bendita perseverancia en el programa, ahora no se dispondría de las matemáticas necesarias para entender el funcionamiento de un aparato como el TAC, o los algoritmos que permiten transmitir eficientemente la información en los teléfonos móviles.

Antonio Córdoba es director del Instituto de Ciencias Matemáticas y Catedrático de Análisis de la Universidad Autónoma de Madrid