El cubo de suma cero... no existe

Ya hay ganador del octavo desafío que organiza EL PAíS en el primer centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Se trata de Diego Martínez Martínez, de Soria, al que felicitamos y al que enviaremos una biblioteca matemática como la que se ofrece el domingo con EL PAÍS. Esta semana, por cierto, se entrega Una nueva manera de ver el mundo, de María Isabel Binimelis, por 9,95 euros con EL PAíS.

Recordemos el problema: asignamos un número (1 o -1) a cada uno de los vértices de un cubo. Tendremos entonces ocho números. A continuación multiplicamos los cuatro vértices de cada cara para obtener otros seis números, que también tendrán que ser 1 o -1. Pues bien, se trataba de conseguir un cubo en que la suma de esos 14 números dé cero. O demostrar en su caso por qué dicho cubo no puede existir.

Y, efectivamente, ese cubo no puede exisitir... pero hay que demostrarlo. Para este desafío se recibieron 980 respuestas dentro del plazo previsto, de las que el 85% eran correctas. La mayoría daban soluciones similares a la de Izar y Paula (ver vídeo de la derecha), alumnas de 4º de la ESO e integrantes del proyecto ESTALMAT pero un cierto número razonaban correcta y elegantemente de esta manera: Para que la suma de los 14 valores dé 0, debe haber siete +1 y siete -1, de manera que el producto de los 14 números debe ser -1. Pero si llamamos A, B, C, D, E, F, G, H a los valores de los vértices, como cada vértice incide en tres caras distintas, resulta que si multiplicamos los 14 valores obtenemos (ABCDEFGH)^4, una potencia cuarta y por tanto necesariamente un número positivo, lo que es contradictorio con este producto debiese ser -1. Por tanto el cubo de suma cero no puede existir.

Aproximadamente un 5% de las respuestas hace un cálculo caso a caso (alguno a mano, la mayoría con ordenador). Como en el problema del piano, por ser una situación finita esto es una demostración, y se han considerado como respuestas válidas que han entrado en el sorteo. No obstante, citaremos lo que dice uno de los lectores que han contestado así: "El resultado es que nunca da 0. ¿El por qué?, no lo sé. Pero he hecho las 256 combinaciones posibles y en ninguna da cero." Hacer las cuentas caso a caso ayuda a decidir cuál debe ser la solución, pero animamos a nuestros lectores a dar el paso de disfrutar entendiendo el porqué de las soluciones a los retos que se proponen.

Hoy jueves plantearemos el noveno desafío.

Un cubo de suma cero

El imposible cubo de suma cero