Así se cuadra un rectángulo

Ya hay solución para el trigésimo quinto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Marta Macho Stadler, profesora de Geometría en la Universidad del País Vasco, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha).

Para este desafío se han recibido en el plazo marcado 485 respuestas, de las que un 90% eran correctas. La ganadora de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Dolores Rico Payá.

Recordemos que el desafío consistía en averiguar las medidas de un rectángulo R y de los 13 cuadrados en los que estaba subdividido, de acuerdo con la figura que se mostraba. En realidad, en la figura, los cuadrados interiores se habían deformado en rectángulos, pero sus alineaciones coincidían con las de los cuadrados de R. Sabíamos además que el cuadrado rojo medía 3 cm de lado.

El desafío consistía en averiguar los lados de cada uno de los cuadrados y las medidas del rectángulo R. La solución debía incluir la lista de 12 números correspondientes a los lados de los 12 cuadrados cuyos lados desconocíamos y, además, las medidas del rectángulo R. Agradecíamos además que se comentara el procedimiento seguido.

Ordenados de menor a mayor los lados miden -exceptuando el ya conocido- 5, 9, 11, 14, 19, 20, 24, 31, 33, 36, 39 y 42. Y el rectángulo R mide 75 por 112 centímetros.

Nuestra propuesta para resolver el desafío es la siguiente. Partiendo del cuadrado rojo se trata de ir reconstruyendo el rectángulo R paso a paso, deduciendo la medida de cada lado a partir de las longitudes de los cuadrados construidos anteriormente, y copiando la estructura del dibujo que se nos da:

Numeramos los cuadrados de 1 a 12 como se muestra (en rojo) en la imagen: estos números representan el orden en el que vamos a ir realizando el problema. Los pasos son los siguientes:

1) suponemos que el lado del cuadrado 1 mide x,

2) así, el lado del cuadrado 2 mide x+3,

3) suponemos que el lado del cuadrado 3 mide y,

4) por lo tanto, el lado del cuadrado 4 mide x+y+3,

5) así, el lado del cuadrado 5 mide 2x+y+9,

6) se deduce que el lado del cuadrado 6 mide 2x+y+12,

7) por lo tanto, el lado del cuadrado 7 mide x+2y+3,

8) así, el lado del cuadrado 8 mide 2x-y+3,

9) se concluye que el lado del cuadrado 9 mide 3x-y+3,

10) se deduce que el lado del cuadrado 10 mide -x+4y,

11) así, el lado del cuadrado 11 mide 6y+3,

12) y por último, el lado del cuadrado 12 mide -x+10y+3.

Queda entonces reconstruido el rectángulo como se muestra en esta figura: hemos escrito las medidas de los lados de cada cuadrado en función de los lados de dos de ellos: x (cuadrado 1). e y (cuadrado 3).

Para encontrar los valores de x y de y, basta con comparar cuadrados de zonas que no han sido relacionadas durante la construcción, por ejemplo:

1) la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 1 y 9 coincide con la suma de las longitudes de los lados del cuadrado rojo y del 6, es decir:

x + (3x-y+3) = 3 + (2x+y+12),

y despejando se deduce que x = y+6.

2) la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 10 y 12 coincide con la suma de las longitudes de los lados de los cuadrados 8 y 9, es decir:

(-x+4y) + (-x+10y+3) = (2x-y+3) + (3x-y+3),

y despejando y sustituyendo x = y+6, se deduce que y = 5 y por lo tanto x = 11.

Así, se deducen las medidas de cada cuadrado sustituyendo x e y en cada cuadrado, como indica la figura y el rectángulo mide 112 (= 42+33) por 75 (= 42 + 31 + 39) cm.

El 70% de las personas que han participado -y que han dicho como habían abordado el ejercicio- han resuelto sistemas de 12 (o más) ecuaciones con 12 (o más incógnitas). Es de agradecer todo lo que han trabajado para explicar con tanta claridad y con imágenes (con regla, Geogebra, CAD, etc.) sus estrategias para la resolución del ejercicio. El 22% ha conseguido resolver el desafío con un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas y el resto -de los que han explicado su proceso de resolución- lo han hecho a través de sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas, e incluso a través de construcciones gráficas. Para resolver estos sistemas de ecuaciones (sobre todo los grandes), ha habido arduos repasos a la teoría de matrices -así lo han confesado algunas personas- y se ha recurrido también a programas como Excell, Solver, Wiris, MatLab, Derive, Mathematica, Procesing, etc.

Las soluciones han llegado de todos los puntos del estado, y de todos los confines del mundo: Alemania, Argentina, Bélgica, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Costa Rica, Estados Unidos, Francia, Grecia, Israel, Italia, México, Noruega, Perú, Reino Unido, Suiza, Tailandia, Uruguay, Venezuela, ... incluso algunas personas confesaban sus dificultades para hablar castellano, pero apelaban al lenguaje universal de la matemáticas.

Luis Alberto Gómez Concepción escribe desde Venezuela, comentando que ha encargado a un diseñador gráfico que monte en un lienzo la imagen del desafío a una escala real... para adornar la recepción de su lugar de trabajo. El lienzo se titulará "DESAFIO Nº 35".

Por último, tanto Marta Macho Stadler como los organizadores queremos dar las gracias la revista francesa Tangente, de cuyo número.99 (julio 2004) se extrajo el desafío.

Un rectángulo de cuadrados

Así se cuadra un rectángulo