Una camisa bordada en ángulo de 4,5º

Ya hay solución para el decimotercer desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española. Dos estudiantes de Estalmat-Catalunya, Andrea Isern Granados, alumna de 3º de ESO en el Instituto Salvador Espriu de Barcelona, y Silvia Martos Baeza, alumna de 3º de ESO en el Instituto Cubelles, de Cubelles (Garraf, Barcelona), plantearon el problema (vídeo de la izquierda) y ahora lo resuelven (vídeo de la derecha). Se han recibido 850 respuestas, de las que un 76% son correctas. La mayoría de las incorrectas lo son por no haberse dado cuenta de que no se puede hacer el diseño con 21 puntadas.

El ganador de una biblioteca matemática como la que reparte EL PAÍS es Pascual Peiró Codina, de Zaragoza. Esta semana, en el quiosco con 9,95 euros con el periódico, La verdad está en el límite, de Antonio José Durán. Excepcionalmente, esta semana el ganador se lleva otro regalo sorpresa, una camiseta bordada exactamente como la que resulta de la solución del problema, gentileza, todo hay que decirlo, de Brodats fil a fil.

Recordemos el enunciado del problema y sus tres preguntas.

Se quiere diseñar un adorno bordado para una camiseta siguiendo el esquema y las condiciones siguientes:

a) Las puntadas se realizarán en zigzag entre dos rectas que forman un ángulo alfa (ver dibujo en el vídeo).

b) La primera puntada empezará en el punto O, común a las dos rectas, y acabará en una de las rectas (que llamaremos horizontal).

c) Todas las demás puntadas deberán tener la misma longitud y se trazarán sin superponerse ni volver hacia atrás.

d) La última puntada debe ser perpendicular a la línea horizontal.

e) Queremos dar exactamente 20 puntadas.

Primera pregunta: ¿Cuál debe ser el ángulo alfa para que se cumplan esas condiciones?

Con la primera y la segunda puntada se dibuja un triangulo isósceles. Los dos ángulos iguales de este triángulo medirán alfa. El tercer ángulo, por lo tanto, sera 180º-2 alfa (los tres ángulos de un triángulo suman 180º, como sabemos).

Con la segunda y la tercera puntadas queda dibujado otro triángulo isósceles. Uno de sus ángulos iguales, adyacente y suplementario al anterior medira 2 alfa. Por tanto el tercer ángulo de este triángulo sera 180º-4 alfa. Con la tercera y cuarta puntadas queda dibujado otro triangulo isosceles, Uno de sus ángulos, mas el ángulo anterior de 180º-4 alfa; mas otro angulo igual a alfa deben sumar un angulo llano. Por lo tanto este ángulo y el que es igual a él en el triangulo isósceles mediran 3 alfa.

Si razonamos de la misma forma veremos que el ángulo agudo que forma la quinta puntada con la recta horizontal es 4 alfa, el que forma la sexta puntada con la recta inclinada es 6 alfa y así sucesivamente.

Queremos que la vigésima puntada sea perpendicular a la recta horizontal. Dado que todas las puntadas pares acaban en la recta inclinada, lo mismo sucedera con la vigésima, la cual, por lo que acabamos de decir, formara un ángulo igual a 19 alfa con la recta inclinada. Y como la última puntada es perpendicular a la línea horizontal -formará un ángulo de 90º respecto a ella- y los tres ángulos del triángulo deben sumar 180º tenemos que: alfa +19 alfa + 90°=180°, de donde alfa =4,5°.

Segunda pregunta: Si la distancia entre O y el punto de la horizontal por donde pasa la última puntada fuera de 25 cm ¿Cuál sería la longitud de cada puntada?

Consideremos A el origen de la última puntada y B el final de la última puntada.

Si OA = 25 cm y AB = l es la longitud de la puntada, tendremos tan 4,5°=l / 25 de donde l= 25 x tan 4,5º. La calculadora nos da l = 1.9675427 que convendrá redondear como 1,97 cm o, incluso, como 20 mm.

Tercera pregunta: 3) ¿Qué ocurriría si quisiéramos hacer 21 puntadas en vez de 20 con las mismas condiciones, esto es, que la número 21 fuera perpendicular a la horizontal?

Cada puntada par y la siguiente puntada impar forman un triángulo isósceles con sus dos ángulos iguales contiguos a la recta horizontal. Esto sucederá con la puntada 20ª y la puntada 21ª. Por ello la puntada 21ª no puede ser perpendicular a la recta horizontal ya que se debería formar un triángulo isósceles con dos ángulos rectos, lo cual es imposible.

Este jueves plantearemos un nuevo desafío.

Una camiseta bordada en zigzag