Áreas equivalentes

Ya hay solución para el vigésimo quinto desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Inmaculada Fernández Benito, Catedrática de Matemáticas en el IES Núñez de Arce de Valladolid, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha): si el área que dejaban libres las dos alfombras triangulares era de 4,2 metros cuadrados, el área en la que se superponen será la misma.

Para este primer desafío de septiembre se han recibido 1.280 respuestas, de las cuales dimos por válidas un 98,5%. Algunos lectores, incluidos varios niños, han acompañado las respuestas con comentarios donde indican que es la primera vez que se han atrevido a responder. Esto nos da pie a recordar que nuestra intención era que los desafíos fuesen variados tanto en cuanto a su contenido como a su dificultad. Que esta vez el desafío fuese más asequible, y tal vez el final de las vacaciones, han contribuido a aumentar la participación y estamos muy satisfechos por ello. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Rubén Outón Gil . Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, El sueño del mapa perfecto, de Raúl Ibáñez.

Recordemos el problema: Se trataba de calcular el área en la que se superponían dos alfombras triangulares, dispuestas en un espacio rectangular como muestra esta figura, sabiendo que la superficie que quedaba libre en la habitación es de 4,2 metros cuadrados.

Como en la solución que propone la profesora Fernández Benito, la mayor parte de las respuestas recibidas basan su razonamiento en que los dos triángulos tienen la misma área y que esta es la mitad del área del rectángulo, llegando, desde este punto de partida, a la conclusión de forma natural. Las respuestas vienen expresadas en distintas formas. Algunos lectores han preferido hacer una exposición sintética, otros han apoyado el razonamiento en la imagen colgada en la página web y otros, en fin, han utilizado fórmulas y expresado en lenguaje algebraico el enunciado para llegar al resultado final.

También hay quien ha ilustrado la solución con GeoGebra ¡e incluso quien la ha expresado en términos probabilísticos o de teoría de conjunto! Todas ellas son correctas y resuelven adecuadamente el desafío de esta semana: el área determinada por la superposición de las dos alfombras (sombreada en negro) es la misma que el área de la parte no cubierta por las alfombras (coloreada en amarillo), y por tanto mide 4,2 metros cuadrados.

El error que han cometido casi todos los lectores que no han dado con la solución ha sido, tras llegar a ese 4,2, pensar que, como estaba cubierta por dos alfombras, el área era la mitad: 2,1 metros cuadrados.

El jueves plantearemos un nuevo reto.

Áreas equivalentes

Dos alfombras triangulares