Un cuadrado alfamágico

Ya hay solución para el vigésimo segundo desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

José Luis Carlavilla, Profesor de la Universidad de Castilla La Mancha, propuso el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelve ahora (vídeo de la derecha). Se trataba de construir lo que llamábamos un cuadrado mágico especial en castellano (en nombre habitual, que cambiamos para no dar demasiadas pistas, es cuadrado alfamágico), esto es, un cuadrado mágico en el que el número de letras del nombre de los números que contiene forman a su vez otro cuadrado mágico.

Para este tercer desafío de agosto se han recibido 344 respuestas, y el 70% de las mismas han sido correctas. Las respuestas incorrectas se han debido principalmente a cuadrados con números repetidos que no hemos considerado válidas. Quizás en el enunciado deberíamos haber aclarado que los cuadrados han de ser con números distintos. pues, de otro modo, hay soluciones triviales: tomar los 9 números iguales. No lo hicimos y pedimos disculpas a todos los participantes de este desafío. El ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión José Gayo Milares, de Madrid. Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaquín Navarro.

De las respuestas correctas, aproximadamente la mitad usaban un razonamiento similar a la solución propuesta en el vídeo.

Esta es la solución propuesta por el Profesor Carlavilla:

Podríamos construir un cuadrado alfamágico de la siguiente manera:

Elegimos tres números x, y, z que cumplan la condición de que la suma de sus letras sean números consecutivos: n, n+1, n+2.

Como el número 1000 tiene 3 letras, los números: 1000+x, 1000+y, 1000+z tendrán, respectivamente: n+3, n+4, n+5 letras en sus nombres.

De la misma forma, como 2000 tiene 6 letras, los números: 2000+x, 2000+y, 2000+z, tendrán, respectivamente: n+6, n+7, n+8, letras en sus nombres.

Si elijo los números x, y, z de forma que estén en progresión aritmética siempre podré construir un cuadrado alfamágico:

x+r, 2000+x+2r, 1000+x

2000+x, 1000+x+r, x+2r

1000+x+2r, x, 2000+x+r

Su cuadrado mágico asociado sería:

n+1, n+8, n+3

n+6, n+4, n+2

n+5, n, n+7

Por ejemplo, los números 1, 3 y 5 cumplirían la condición necesaria para construir un cuadrado alfa-mágico: están en progresión aritmética y la suma de sus letras son números consecutivos. El cuadrado alfa-mágico sería:

3, 2005, 1001

2001, 1003, 5

1005, 1, 2003

Su cuadrado mágico asociado sería:

4, 11, 6

9, 7, 5

8, 3, 10

Así pues, para construir un cuadrado alfamágico basta con encontrar tres números en progresión aritmética cuya suma de letras sea consecutiva:

Por ejemplo: 30,40, 50; la suma de sus letras sería: 7, 8, 9.

También valdrían 31,41,51; 32, 42,52, etc.

Muchos participantes han usado un argumento similar, ayudándose en ocasiones de Excel para conseguirlo. Así, José Manuel Sabás Vivas escribe el siguiente razonamiento:

Empecé listando en Excel los nombres de los números 1 al 500, e intenté descubrir cuadrados mágicos especiales yendo del final hacia el principio. Primero busqué cuadrados de números consecutivos cuyas cifras ya fuesen los números de letras de otros (entre 10 y 30), y a partir de ahí traté de hallar los números originales. Por este camino no me fue nada bien.

A continuación busqué cuadrados mágicos finales formados por cifras que se diferenciasen en 2 unidades, tratando de encontrar de nuevo los cuadrados mágicos originales. Luego de 3 en 3 cifras. Pero nada de nada...

Pero finalmente me di cuenta que usando números mucho más grandes que empiecen por mil o por dos mil aparecen más posibilidades de encontrar cuadrados para los que la suma de sus cifras se diferencien en 3. Por ejemplo, 25 tiene 11 letras, 1025 tiene 14 y 2025 tiene 17.

De esta manera obtuve éste:

38, 2025, 1051

2051, 1038, 25

1025, 51, 2038

Su constante mágica es 3114

Si escribimos el número de letras queda:

12, 17, 16

19, 15, 11

14, 13, 18

cuya constante mágica es 45

Curiosamente, si de este cuadrado hacemos otro formado por la suma de los dígitos, nos queda otro cuadrado mágico:

3, 8, 7

10, 6, 2

5, 4, 9

cuya constante mágica es 18.

Salvador Jover Sagarra basándose en el ejemplo inicial construye un sinfín de cuadrados alfamágicos:

1- El cuadrado mágico especial más simple:

3, 2001 , 1005

2005, 1003, 1

1001, 5, 2003

2- Un cuadrado mágico especial con todos los números múltiplos de 10:

30, 2020, 1040

2040, 1030, 20

1020, 40, 2030

3- Un cuadrado mágico especial utilizando la decena del once al veinte:

13, 2011, 1015

2015, 1013, 11

1011, 15, 2013

4- Un cuadrado mágico especial utilizando dígitos consecutivos:

5, 2004, 1006

2006, 1005, 4

1004, 6, 2005

5- Un cuadrado mágico especial con números cuyas dos últimas cifras son múltiplos de 7:

14, 2007, 1021

2021, 1014, 7

1007, 21, 2014

Y la sorpresa final es que he encontrado dos cuadrados mágicos superespeciales:

1º) Uno porque tanto con las cifras arábigas como con números romanos genera sendos cuadros mágicos.

2º) Y el otro es un cuadrado mágico elaborado a expensas de cuadrados mágicos especiales.

Algunos lectores han presentado programas informáticos que generan cuadrados mágicos en castellano y otros idiomas. Por ejemplo Alfonso Pérez Arnal, de Paterna (Valencia), nos presenta cuadrados alfamágicos en catalán, euskera, gallego y latín basando su construcción en el ejemplo inicial.

El cuadrado alfamágico presentado por el ganador de este desafío, José Gayo Millares ha sido:

121, 155, 93

95, 123, 151

153. 91, 125

El próximo jueves presentaremos un nuevo reto.

Un cuadrado mágico especial

Un cuadrado alfamágico