Hundido en el fango

Los triángulos isósceles se suelen representar con el lado diferente como base, para que resulte más evidente su simetría axial. Pero si en nuestro isósceles de la semana pasada usamos como base uno de los dos lados iguales del triángulo, es obvio que el de mayor área será el de mayor altura, es decir, el isósceles rectángulo. Por lo tanto, su tercer lado medirá 10√2 cm = 14,14 cm aproximadamente y el área máxima buscada será 50 cm².

El problema del ...

Los triángulos isósceles se suelen representar con el lado diferente como base, para que resulte más evidente su simetría axial. Pero si en nuestro isósceles de la semana pasada usamos como base uno de los dos lados iguales del triángulo, es obvio que el de mayor área será el de mayor altura, es decir, el isósceles rectángulo. Por lo tanto, su tercer lado medirá 10√2 cm = 14,14 cm aproximadamente y el área máxima buscada será 50 cm².

El problema del bote de cerveza, que ha suscitado un amplio debate entre los lectores (ver comentarios de la semana pasada), a primera vista no parece tener ninguna relación con el del triángulo, y, sin embargo, requieren el mismo cambio de perspectiva, pues en ambos casos conviene “tumbar” la figura correspondiente.

Imagínate que te dicen que el problema ya está resuelto y, por tanto, en la lata queda la cantidad de cerveza para la cual el centro de gravedad está lo más bajo posible, ¿cómo puedes comprobar que es verdad? Muy sencillo: metes la lata (de pie) en el congelador y esperas a que la cerveza se solidifique. Luego apoyas horizontalmente la lata en equilibrio sobre un fulcro y con tu visión de rayos X (pero sin pasarte, para que la cerveza no se descongele) compruebas que el fulcro queda justo debajo de la superficie del líquido. Por lo tanto, el centro de gravedad es el centro de dicha superficie circular, y ese es su punto más bajo posible. ¿Por qué? Si añadiéramos un poco de cerveza, la lata caería hacia el lado vacío, que pesaría un poco más, y, por tanto, el centro de gravedad estaría más alto, y si quitáramos un poco de cerveza, la lata también caería hacia el lado vacío, pues ahora el lado lleno pesaría un poco menos, luego el centro de gravedad también subiría; así pues, si tanto al añadir como al quitar cerveza el centro de gravedad sube, quiere decir que está en su punto más bajo.

Ahora, con la lata horizontal en equilibrio, no es difícil calcular la altura a la que se halla el centro de gravedad más bajo. Despreciando el peso de las tapas (que por estar a distinta distancia del fulcro no inciden en el equilibrio de la misma forma), llamando a y b, respectivamente, a las longitudes de las porciones de la lata vacía y llena, V al peso de la lata vacía y P al peso de la lata llena, tenemos que:

a²V = b²P, de donde a/b = √P/√V

Y como la lata pesa 9 veces más llena que vacía a/b = 3, es decir, la cerveza ocupa 1/4 de la altura de la lata, y el centro de gravedad buscado está a 5 cm de la base.

Vamos a comprobar, aplicando la ley de la palanca (el producto de la fuerza por la longitud de su brazo es igual en ambos lados), que la lata horizontal, llena hasta ese punto de cerveza, está en equilibrio al apoyarla sobre un punto que dista 5 cm de la base:

La parte llena pesa 360/4 + 45/4 = 101,25 g y su centro de gravedad está a 2,5 cm del fulcro. La parte vacía pesa 3 x 45/4 = 33,75 g y está a 7,5 cm del fulcro, y puesto que 101,25 x 2,5 = 33,75 x 7,5 = 253,125, la lata está en equilibrio.

Dadme un punto de apoyo…

Y hablando de la palanca, recordemos que Arquímedes dijo, en referencia a su poder multiplicador de la fuerza: “Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo”, pues una fuerza pequeña con un brazo largo puede levantar un gran peso situado cerca del fulcro. Y hay otras formas de multiplicar la fuerza jugando con la conservación del trabajo, que e el producto de la fuerza por el espacio recorrido: con ayuda de distintos artilugios, como la palanca, una pequeña fuerza recorriendo un gran espacio puede convertirse en una gran fuerza que recorre un espacio pequeño, lo cual puede ser muy útil en algunas ocasiones. Por ejemplo, si tu coche, mientras vas por un camino vecinal embarrado, se hunde en el fango y no hay forma de sacarlo por más que empujes. Es una situación muy irritante, pues bastaría con moverlo unos palmos para liberar las ruedas. Pero no te desesperes: tienes una cuerda larga en el maletero y hay árboles cerca… ¿Qué puedes hacer para salir del apuro?

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