El rebaño del sol
La ecuación diofántica de Pell ya fue estudiada en la antigüedad en relación con el problema del ganado del Sol
Nuestro jeque de la semana pasada, por despiste o tal vez para poner a prueba la astucia de sus hijos, no les legó la totalidad del rebaño, pues 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18, y eso explica que el mulá recuperara su camello tras cederlo para que el reparto fuera posible sin trocear a ningún animal.
En cuanto a la definición de ecuación, por primera vez (pero supongo que no será la última) voy a dar ...
Nuestro jeque de la semana pasada, por despiste o tal vez para poner a prueba la astucia de sus hijos, no les legó la totalidad del rebaño, pues 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18, y eso explica que el mulá recuperara su camello tras cederlo para que el reparto fuera posible sin trocear a ningún animal.
En cuanto a la definición de ecuación, por primera vez (pero supongo que no será la última) voy a dar la respuesta de un robot, pues nuestra comentarista habitual pi ciencia se la pidió al ChatGPT y obtuvo lo siguiente:
- Una ecuación es una expresión matemática que establece una igualdad entre dos cantidades o expresiones.
- Definición en una sola palabra: igualdad.
- Un símil físico para visualizar una ecuación podría ser la balanza de pesar objetos. Si colocas el mismo peso en ambos lados de la balanza, estarías estableciendo una igualdad entre los pesos. De la misma manera, en una ecuación, las expresiones a ambos lados del signo igual tienen el mismo valor.
Arthur C. Clarke se echaría a temblar (solía decir que si inventábamos máquinas inteligentes, sería lo último que nos dejarían inventar). En otro orden de cosas, por la sección de comentarios de la semana pasada circuló un interesante problema, no apto para anaritmetos, del que ofrezco una variante un poco más sencilla:
Tengo un cierto número de bolas de bingo consecutivas, empezando por la 1, y observo que puedo agruparlas en dos grupos de bolas consecutivas que suman lo mismo. ¿Cuántas bolas tengo? (No vale la solución trivial 3, pues aunque las bolas 1 y 2 suman lo mismo que la 3, no hay dos grupos de bolas, en plural).
La ecuación de Pell
“Di, matemático, ¿cuál es el cuadrado que multiplicado por 8 se convierte, junto con la unidad, en otro cuadrado?”
Si lo hallas, habrás resuelto un famoso problema planteado por el matemático indio Bhaskara en el siglo VII. Un problema que, con la notación actual, expresaríamos así: 8y² + 1 = x² , o sea, x² – 8y² = 1, que es una ecuación de Pell (que toma su nombre del matemático inglés del siglo XVII John Pell), cuya forma general es x² – ny²= 1.
Mil años antes que Bhaskara, Arquímedes ya había estudiado este tipo de ecuaciones en relación con el denominado “problema del ganado” o “problema del rebaño del Sol”, que dice así:
En el rebaño del dios Sol hay toros blancos, negros, moteados y marrones, y vacas de los mismos cuatro tipos.
El número de toros blancos es la mitad y la tercera parte de los negros más los marrones.
El número de toros negros es igual a la cuarta más la quinta parte de los moteados más los marrones.
El número de toros moteados es igual a la sexta más la séptima parte de los blancos más los marrones.
El número de vacas blancas es igual a un tercio más un cuarto de la suma de los toros negros y las vacas negras.
El número de vacas negras es igual a la cuarta parte más la quinta parte de la suma de los toros moteados más las vacas moteadas.
El número de vacas moteadas es igual a la quinta más la sexta parte de la suma de los toros marrones más las vacas marrones.
El número de vacas marrones es igual a la sexta más la séptima parte de la suma de los toros blancos más las vacas blancas.
La suma de los toros blancos y negros es un número cuadrado (es decir, un cuadrado perfecto).
La suma de los toros moteados y marrones es un número triangular (es decir, de la forma n(n+1)/2).
Parece ser que el problema se lo planteó Arquímedes a su amigo Eratóstenes, y no es nada fácil. No intentes resolverlo por tanteo, pues, como corresponde al rebaño de un dios, hay varios millones de reses de cada tipo.
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