El punto de Torricelli
¿Cómo determinarías el punto cuya suma de distancias a los tres vértices de un triángulo es mínima?
La gran importancia, entre los babilonios, de los números regulares, de los que nos ocupábamos la semana pasada por serlo tanto el 500 como el 2025, se debe a que 2, 3 y 5 son los factores primos de 60, que era la base de la numeración mesopotámica.
¿Y por qué, hace unos cuatro mil años, los primeros matemáticos escogieron como base el 60 en lugar del 10? Puesto que tenemos 10 dedos, parece que esa debería ser la primera opción. Y, de hecho, lo fue, pues la numeración mesopotámica es mixta: las unidades se agrupan en decenas, pero las decenas, en vez de agruparse en centenas, se agrupan en sesentenas, porque el 60, debido a su factorización (22 x 3 x 5), es divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, y es el menor número divisible por todos los enteros del 1 al 6, lo que lo hace muy adecuado para las particiones propias de las operaciones comerciales. Por análogas razones se sigue utilizando la docena, más repartible que la decena, ya que 12 es divisible por 1, 2, 3, 4 y 6, mientras que 10 solo lo es por 1, 2 y 5. Y también seguimos usando la numeración sexagesimal en la medición del tiempo y de los ángulos.
Con respecto a la singular condición de cuadrado perfecto del año en el que acabamos de entrar (2025 = 452), señala Ignacio Alonso:
“Curioso que este sea posiblemente 😊 el único año cuadrado perfecto en las vidas de los nacidos después de 1936. El 2048 (2^11) es la única potencia perfecta próxima que nos queda seuo, salvo las unitarias, claro”.
El icono jocoso es de suponer que hay que interpretarlo en el sentido de que es poco probable que lleguemos a 2116 (462). De ser así, nuestro asiduo comentarista IA (ojo a las iniciales) no es muy optimista, pues solo faltan 91 años para el próximo cuadrado perfecto.
Y en cuanto a la división óptima del queso de Camembert en tres partes, dice Susana Luu:
“Sobre la división del disco en partes iguales, no aspiro a entender por qué esa configuración en el caso n = 4 es la mejor, pero sí me gustaría entender al menos el caso n = 3. El artículo dice que la solución para n = 3 es trivial, pero yo no entiendo el motivo por el que esa división radial es la mejor (en los comentarios de la semana pasada ya comenté que no me parecía obvio cómo excluir otras posibles divisiones del caso n = 3 salvo calcular los perímetros de cada una)”.
Como le contesté a Susana la semana pasada, la solución para el caso n = 3 tiene que ver con el punto de Fermat (según los franceses) o de Torricelli (según los italianos); pero a mí tampoco me parece tan obvio que no haya otras soluciones para n = 3. ¿Alguien se anima a demostrarlo?
Cómo minimizar la suma de distancias
El punto de Torricelli (soy italiano) de un triángulo es aquel para el cual la suma de sus distancias a los vértices del triángulo es mínima. El problema de su determinación le fue planteado, a mediados del siglo XVII, por Pierre de Fermat a Evangelista Torricelli, que lo resolvió, de ahí que ambos den nombre al punto en cuestión.
En el caso de un triángulo acutángulo, el punto de Torricelli es obviamente interior al mismo; pero ¿será siempre así? ¿En qué caso, si lo hubiere, será exterior al triángulo?
Y para subir nota: ¿Puedes hallar una construcción geométrica sencilla para determinar el punto de Torricelli de un triángulo?
El punto de Fermat-Torricelli (seamos internacionalistas) es la solución, para tres puntos, de la mediana geométrica y del árbol de Steiner. Pero ese es otro artículo.