¿Qué es un conjunto?

Aunque la expresión “ciencias exactas” haya caído en desuso, tendemos a pensar que los conceptos matemáticos y su correspondiente terminología son precisos e inmutables. ¿Acaso no seguimos utilizando el teorema de Pitágoras o los postulados de Euclides tal como fueron formulados hace más de dos mil años? Pero no siempre es así y, de hecho, uno de los aspectos más interesantes e instructivos de la historia de la ciencia es la forma en que se modifican los nombres y/o las definiciones de algunos objetos matemáticos (es muy significativo, en este sentido, que la geometría empezara siendo la “medición de la tierra”, como indica su nombre). En palabras del maestro Martin Gardner: “Por lo general, el proceso es el siguiente: se da a los objetos un nombre x y se los define burdamente, de acuerdo con el uso y la intuición. Luego alguien descubre un objeto excepcional que se ajusta a la definición, pero en el que nadie piensa cuando se llama x a un objeto. Entonces se propone una definición nueva y más precisa, que abarque o excluya dicho objeto excepcional. La nueva definición permanece vigente mientras no aparezcan nuevas excepciones, en cuyo caso hay que volver a revisar la definición, y este proceso puede continuar indefinidamente” (Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas, 1990).

Como vimos la semana pasada, algo tan familiar y aparentemente simple como una curva no es fácil de definir con precisión, y los numerosos intentos de las/os lectoras/es por dar una definición inequívoca y abarcadora así lo atestiguan (ver comentarios de ¿Qué es una curva?). De hecho, como señaló Adelaida López, en matemáticas no se suele hablar de curvas “a secas”, porque en muchos casos es necesario especificar a qué tipo o concepto de curva nos referimos.

Y, huelga decirlo, las curvas no son un caso aislado. Términos —y conceptos— tan aparentemente claros como el de número, conjunto, dimensión o infinito son igualmente escurridizos y pueden dar lugar a inquietantes paradojas (como comprobarás si, siguiendo a Einstein, intentas explicárselos a tu abuela, real o imaginaria).

Montones y conjuntos

La paradoja sorites o del montón, de la que nos hemos ocupado en más de una ocasión, se debe en buena medida a la ambigüedad del propio término, que tiene que ver con la cantidad, pero no es cuantificable, por lo que, a primera vista, los conjuntos, que son como montones sin pretensiones de abundancia, parecerían inmunes a las paradojas. Sin embargo, como demostró Bertrand Russell a principios del siglo XX (desarrollando una idea del propio Cantor, un detalle que se suele omitir), una noción meramente intuitiva de conjunto (¿cuál es la tuya, sagaz lector(a)?) conduce a contradicciones como la siguiente: llamemos típicos a los conjuntos que no se contienen a sí mismos y atípicos a los que se contienen a sí mismos (por ejemplo, un montón/conjunto de garbanzos no es un garbanzo, mientras que un conjunto/montón de montones es un montón).

¿Cómo será el conjunto de los conjuntos típicos, al que llamaremos T? Si T es típico, hay que incluirlo en T, y por tanto está incluido en sí mismo, y por tanto es atípico…

Por la misma época en que Russell, con su paradoja del barbero (la versión más popular de la paradoja de los conjuntos típicos y atípicos), dinamitaba el proyecto logicista de Frege, los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou desarrollaban su teoría sobre la iteración de funciones complejas, que da lugar a conjuntos “monstruosos” (léase fractales), como el del propio Julia o el archiconocido de Mandelbrot, cuyas intrincadísimas representaciones gráficas son de una sobrecogedora belleza. Pero ese es otro artículo. O varios.

Pelotas y cónicas

Las linternas, normalmente, proyectan un cono de luz más o menos definido, y una cónica es la intersección de un plano con un cono, por lo que ni siquiera es necesaria la pelota (ver último párrafo de la semana pasada), como comprobarás fácilmente enfocando una pared a corta distancia: de frente se formará un círculo de luz, al ladear ligeramente la linterna el círculo se convertirá en elipse, ladéala un poco más y obtendrás una parábola… Si introduces una pelota en el cono de luz, se forma un cono de sombra con el que podrás obtener cónicas “chinescas” más definidas.

Y hablando de pelotas y cónicas, la típica imagen del ojo de halcón tenístico parece una elipse. ¿Lo es? ¿Por qué? ¿No debería ser un círculo, puesto que representa la intersección de una esfera (la pelota) y un plano (la pista)?

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