El teorema de Viviani

Con respecto al punto de Fermat-Torricelli, dice nuestro comentarista habitual Salva Fuster:

“Una construcción sencilla que nos permite hallar el punto de Fermat-Torricelli para el caso de un triángulo cuyo ángulo mayor es inferior a 120º consiste en dibujar dos triángulos equiláteros (hacia el exterior) sobre cualquier par de lados del triángulo. Posteriormente, unimos cada uno de los dos nuevos vértices con el vértice más alejado del triángulo original. Los dos segmen...

Con respecto al punto de Fermat-Torricelli, dice nuestro comentarista habitual Salva Fuster:

“Una construcción sencilla que nos permite hallar el punto de Fermat-Torricelli para el caso de un triángulo cuyo ángulo mayor es inferior a 120º consiste en dibujar dos triángulos equiláteros (hacia el exterior) sobre cualquier par de lados del triángulo. Posteriormente, unimos cada uno de los dos nuevos vértices con el vértice más alejado del triángulo original. Los dos segmentos tienen como intersección el punto de Fermat-Torricelli”. Y añade: “Creo que una manera muy interesante de ver que el punto de F-T es el que presenta ángulos de 120º entre el punto y los vértices del triángulo es la siguiente:

—Dibujamos tres semirrectas que parten del mismo punto y que forman entre ellas 120º.

—Acoplamos los vértices de triángulo que queramos (su ángulo mayor no debe superar 120º) de manera que se encuentren sobre esas tres semirrectas.

—Dibujamos en cada vértice, una perpendicular a la semirrecta que lo contiene, formándose un triángulo equilátero.

—Teniendo en cuenta el teorema de Viviani, podemos ver que cualquier otro candidato a punto de F-T que no sea el origen de las tres semirrectas, tendrá una distancia total mayor”.

El teorema de Viviani, que debe su nombre al matemático y físico italiano Vincenzo Viviani (1622-1703), dice que la suma de las distancias desde un punto interior a cada uno de los lados de un triángulo equilátero es igual a la altura del triángulo (¿se te ocurre una demostración sencilla?).

El teorema de Viviani se puede generalizar a todos los polígonos equiláteros y los polígonos equiángulos: la suma de las distancias desde un punto interior cualquiera a los lados de un polígono equilátero o equiángulo es constante.

Vincenzo Viviani es conocido, sobre todo, porque fue durante mucho tiempo colaborador y hombre de confianza de Galileo, de cuya primera biografía es autor. También fue el primero en determinar la velocidad del sonido, y se adelantó a Foucault en dos siglos en construir el péndulo que lleva el nombre del físico francés.

La ventana de Viviani

Menos conocido fuera del ámbito especializado es el problema arquitectónico conocido como “la ventana de Viviani”, que el matemático florentino planteó a finales del siglo XVII, y que fue abordado, entre otros, por Leibniz y Bernoulli. Consiste en abrir en una cúpula hemisférica cuatro ventanas iguales de manera que la superficie restante de la cúpula sea cuadrable (se dice que una figura es “cuadrable” si es posible obtener, a partir de ella y por métodos geométricos, un cuadrado que tenga la misma área, como en el conocido —e imposible— caso de la cuadratura del círculo). La solución es la intersección de la cúpula con un cilindro cuyo radio es la mitad del de la esfera (pero ese es otro artículo).

El artefacto de Varignon

Con respecto al punto de Torricelli, comenta Susana Luu:

“Aparte del árbol de Steiner, problema que no conocía, otra generalización obvia de ese problema es: dados n puntos, no necesariamente tres, calcular un punto tal que la suma de las distancias de este a los n puntos sea mínima. Me encontré este problema hace tiempo, y me gustó mucho una forma de calcular la solución: interpretarlo como un problema en física, como el artefacto de Varignon”.

¿Se te ocurre una sencilla manera de convertir la determinación del punto de Torricelli en un problema de física?

Dicho sea de paso (y a modo de pista), Pierre Varignon (1654-1722) fue un matemático y físico francés que hizo importantes contribuciones a la estática, y muy concretamente a las condiciones de equilibrio en tres dimensiones. También es conocido por el teorema que lleva su nombre, que dice que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera son los vértices de un paralelogramo (¿puedes demostrarlo?).