Los bueyes de Newton y el reloj de Einstein

El problema tolstoyano de la semana pasada es un buen ejemplo de lo importante que es, para simplificar los cálculos, un enfoque adecuado (es decir, ad hoc). Si llamáramos, por ejemplo, x a la superficie del campo mayor e y al número de segadores, obtendríamos un sistema de ecuaciones bastante engorroso, que Reyes Luelmo simplifica notablemente con su ingenioso planteamiento: “1 segador x 1 día es la unidad; el número de segadores, n. El campo pequeño necesita n/2 x 1/2 día + 1. El grande, n x 1/2 día + n/2 x 1/2 día más. Y como el grande es el doble del pequeño,

2(n/4 +1) = n/2 + n/4, de donde n = 8″.

Y puestos a desempolvar problemas vinculados a grandes pensadores, veamos un par que despertaron el interés de dos de los más grandes físicos de todos los tiempos: Isaac Newton y Albert Einstein.

Los prados de Newton

De los campos de Tolstói a los prados de Newton.

En realidad, este problema atribuido a Newton es de origen popular, pero en su día llamó la atención del gran científico, que escribió sobre él (e ideó una variante que luego veremos), y desde entonces lleva su nombre:

Tres prados cubiertos de hierba de una misma espesura y con el mismo ritmo de crecimiento tienen las siguientes superficies: 3 hectáreas y 1/3, 10 hectáreas y 24 hectáreas. La hierba del primer prado es comida por 12 bueyes durante 4 semanas, y la del segundo, por 21 bueyes durante 9 semanas. ¿Cuántos bueyes comerán la hierba del tercer prado durante 18 semanas?

Los problemas de prados y reses son tan abundantes como los de pastores y ovejas, y seguramente se remontan a los orígenes de la ganadería; pero este tiene la particularidad de que la hierba sigue creciendo mientras la comen. Por eso llamó la atención de Newton, que en su Arithmetica Universalis propone la siguiente variante:

Sabiendo que 75 bueyes se han comido en 12 días la hierba de un prado de 60 áreas y que 81 bueyes se han comido la hierba de un prado de 72 áreas en 15 días, ¿cuántos bueyes se necesitan para comer en 18 días la hierba de un prado de 96 áreas? Se supone que en los tres prados la hierba tenía la misma altura y que la hierba continúa creciendo uniformemente.

Y si no has tenido bastante con los bueyes de Newton, puedes entretenerte con los innumerables toros de Arquímedes revisitando una entrega del año pasado: El rebaño del Sol (3 3 2023).

El reloj de agujas deformables

En relación con alguien que demostró que el tiempo se estira y se contrae, nada más adecuado que un problema en el que eso les ocurre a las agujas del reloj.

En cierta ocasión en que Einstein yacía en la cama enfermo, su amigo y biógrafo A. Moshkovskii le propuso, para distraerlo, el siguiente problema:

Consideremos un reloj que marca las 12 en punto. Si en esta posición la aguja horaria y el minutero intercambiaran sus funciones (es decir, si la primera se alargara y la segunda se contrajera), la hora marcada sería la misma; pero a otras horas, por ejemplo a las 6, ese intercambio daría lugar a una situación absurda, que nunca podría producirse en un reloj que funcionara normalmente: el minutero no podría estar en el 6 cuando la aguja horaria está en el 12, como en el famoso “Reloj blando” de Dalí. Pero hay otros momentos, además de las 12 en punto, en que al intercambiar sus longitudes las agujas del reloj se producirían situaciones que sí que pueden darse en un reloj que funciona normalmente (aunque solo si las agujas estuvieran superpuestas seguiría siendo la misma hora). ¿Cuántos y cuáles son esos momentos de intercambiabilidad de las longitudes de las agujas del reloj?

Según cuenta Moshkovskii, Einstein no necesitó, para resolver el problema, más tiempo del que a él le llevó formularlo. Así que ya estás tardando…

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