¿Es jugar a la lotería una buena decisión?

Como todos los años en fechas cercanas al sorteo navideño, se suceden artículos, en número cercano a los plagios del rector de cierta universidad, sobre aspectos matemáticos en relación con la lotería y, más generalmente, sobre la racionalidad de comprarla. La discusión habitual se centra en que la probabilidad de obtener premio, en particular el Gordo, es muy pequeña y que el valor monetario esperado de comprar un billete es negativo. A pesar de ello, millones de personas lo compramos. Resultado: el Estado ingresa una cantidad importante de dinero con esta actividad, muchos perdemos una peque...

Como todos los años en fechas cercanas al sorteo navideño, se suceden artículos, en número cercano a los plagios del rector de cierta universidad, sobre aspectos matemáticos en relación con la lotería y, más generalmente, sobre la racionalidad de comprarla. La discusión habitual se centra en que la probabilidad de obtener premio, en particular el Gordo, es muy pequeña y que el valor monetario esperado de comprar un billete es negativo. A pesar de ello, millones de personas lo compramos. Resultado: el Estado ingresa una cantidad importante de dinero con esta actividad, muchos perdemos una pequeña cantidad de dinero, algunos recuperan su dinero, y unos pocos, muy pocos, obtienen un premio sustancial, parte del cual retorna al Estado a través de impuestos.

¿Qué hacer, entonces? No es tan sencillo tomar decisiones en incertidumbre, es decir, elegir entre un conjunto de alternativas cuyas consecuencias son inciertas. Para ello se emplean modelos provenientes de la llamada teoría de la decisión estadística. Además del ejemplo de la lotería, cubriríamos casos como los de invertir en Bolsa, adquirir un seguro, decidir una política pública o financiar proyectos de investigación.

Frente a un problema de decisión podemos optar por varias vías para seleccionar nuestras alternativas: la intuición, el uso de reglas o el análisis. La intuición se apoya en heurísticas, y autores como el psicólogo alemán Gerd Gigerenzer, y nuestra propia evolución, muestran lo exitosa que es esta estrategia en muchos casos. Pero no siempre: también puede conducir a sesgos, paradojas y malas, muy malas decisiones. Frente a ello, se pueden emplear reglas que resumen experiencia y decisiones previas. Su pega: no se adaptan bien en situaciones cambiantes y altamente inciertas. Finalmente, encontramos los métodos del análisis de decisiones, que requieren mayor esfuerzo cognitivo y computacional. Estos siguen fundamentalmente el principio de escoger la alternativa de máxima utilidad esperada.

En cierta forma, tal principio comienza con la paradoja de San Petersburgo , resuelta por el matemático Daniel Bernoulli. Es un juego particular de lotería, en el que el jugador ha de pagar una cantidad fija para participar. Se lanza una moneda equilibrada hasta que sale cara por primera vez. Si esto ocurre en la tirada n-ésima, el jugador recibe 2^n euros (si sale en la primera tirada, ganaría dos euros, si sale en la segunda, 4, y así sucesivamente). El valor esperado de este juego es infinito, pero…. ¿cuánto está dispuesto a pagar un jugador por participar? ¿10 euros? ¿15, como mucho? Bernoulli planteó que, en este caso, el valor monetario esperado no resume de forma adecuada el juego, y señaló la diferencia entre ganancia y utilidad de la ganancia: “cualquier incremento en riqueza, no importa cuán insignificante, siempre resultará en un incremento en utilidad que es inversamente proporcional a la cantidad de bienes ya poseídos”. Un argumento luego corregido y generalizado por grandes como Ramsey, De Finetti, Von Neumann y Morgestern o Savage.

Frente a un problema de decisión podemos optar por varias vías para seleccionar nuestras alternativas: la intuición, el uso de reglas o el análisis

Para saber si debemos o no comprar lotería con estos modelos, llamados de utilidad esperada, calculamos la utilidad de nuestra fortuna actual. Si fuese mayor que la utilidad esperada de nuestra fortuna tras sortearse la lotería, no deberíamos comprar el billete. En la utilidad pueden modelizarse no sólo criterios monetarios, sino también otros atributos como el pesar., Además, se modelizan nuestras actitudes frente al riesgo. En particular, un sector tan importante como el de los seguros se asienta de manera fundamental en el concepto de aversión al riesgo.

En el problema de la lotería navideña se conocen las probabilidades de los resultados de forma objetiva. Pero en muchas decisiones bajo incertidumbre, tales probabilidades no estarán disponibles y debemos utilizar juicios de expertos para asignarlas mediante técnicas estructuradas de modelización de creencias, amenamente ilustradas en Superforecasting. En presencia de información adicional se actualizan mediante la fórmula de Bayes, sustento de numerosísimos avances tecnológicos de nuestra sociedad Internet.

Pero ninguna predicción es definitiva. La teoría anterior ha recibido críticas desde el punto de vista descriptivo: nuestras decisiones intuitivas no siempre se conforman a los principios racionales, como tal vez ocurre con las decisiones de lotería. Podemos ver esto como defectos a corregir con entrenamiento adecuado de los decisores. Alternativamente, se han desarrollado otras teorías, como la prospectiva, que, en cualquier caso, consideran perturbaciones de las medidas de incertidumbre y de las preferencias y actitudes frente al riesgo y su integración.

Como elemento adicional, en muchas situaciones de toma de decisiones, hay otros participantes que toman alternativas que influyen en nuestros resultados, junto a factores externos, con ejemplos como las decisiones nacionales de ciberseguridad, las inversiones empresariales en publicidad, o la lucha frente al terrorismo. Así, surge como fuente adicional de incertidumbre la acción que adoptarán nuestros competidores. Este es el escenario tradicional de la teoría de juegos, que se basa en calcular las mejores respuestas de cada jugador frente a las de los otros agentes. De su cruce, mi mejor respuesta a tu mejor respuesta, se obtienen soluciones de equilibrio. Sin embargo, en numerosos contextos no se conocen comúnmente los intereses y creencias de los jugadores, y sería mejor optar por los nuevos métodos del análisis de riesgos adversarios. Para ello, necesitamos construir una predicción de lo que van a hacer los contrincantes, mediante simulación de sus problemas. Y una vez con esta predicción volveríamos a un problema similar al de decidir si jugar o no en la lotería.

David Ríos es AXA-ICMAT Chair en Adversarial Risk Analysis y Numerario de la Real Academia de Ciencias.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales, y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.