Cómo repartir el roscón de Reyes de forma justa

Ahora que se acerca el día de Reyes, un dilema se presenta en la sobremesa: ¿cómo cortar el roscón para que nadie proteste sobre el trozo que le ha tocado? De resolver este problema se encarga la teoría matemática de la división justa, una rama de la teoría de juegos que nació en los años 40 del siglo pasado, con los trabajos de los matemáticos polacos Hugo Dyonizi Steinhaus, Stefan Banach y Bronisław Knaster. Además de para cortar roscones —o cualquier otro tipo de tarta—, la teoría de la división justa tiene incontables aplicaciones: a la asignación de tareas, a las subastas, a la gestión del tráfico aéreo, al reparto de herencias o acuerdos de divorcio…

Primero de todo, cada persona tiene que dar valor a las partes de los bienes a repartir. Si el bien es homogéneo —como el dinero, terrenos o un roscón en el que la parte de arriba solo tiene almendra—, el valor de cada trozo estará determinado por su tamaño o cantidad, pero si es heterogéneo —un roscón con zonas con fruta confitada y zonas con almendra—, cada persona podrá darles un valor diferente a las partes: todos sabemos que la fruta confitada tiene partidarios y detractores. Curiosamente, hay ciertas situaciones en las que el desacuerdo sobre qué zonas son más sabrosas produce mejores resultados en el reparto que si todos opinaran igual.

Luego, se tiene que precisar qué significa un reparto justo. Así, aparecen distintas posibilidades: si hay n personas, una división es proporcional si cada una de ellas considera que el valor de su trozo es mayor o igual que 1/n; buscando que nadie se sienta molesto, encontramos la división libre de envidia, en la que cada persona recibe un trozo que, según su propia medida, vale al menos tanto como cualquiera de los otros trozos cortados.

Los repartos se describen con una serie de instrucciones que hay que seguir paso a paso, es decir, a través de un algoritmo. El caso más sencillo de reparto, conocido desde tiempos bíblicos, ocurre cuando la división es solo entre dos personas. En esta situación, el algoritmo “yo corto, tú eliges” lleva a una división proporcional y libre de envidia, como la de Abraham y Lot.

Para tres personas (Antonio, Beatriz y Carolina), las cosas se complican. En los años 60 del siglo pasado John Selfridge y John Horton Conway dieron, de forma independiente, el mismo procedimiento libre de envidia. Funciona como sigue: en primer lugar, Antonio corta el roscón en tres partes, que él considera iguales. A continuación, Beatriz tiene dos opciones: si cree que hay una parte más grande que las otras dos, la recorta para crear un empate; por el contrario, si piensa que hay dos o más partes que empatan como la más grande, no hace nada. Entonces, Carolina elige el trozo que cree más grande. Luego, elige Beatriz, teniendo en cuenta que, si recortó una de las partes en el paso anterior, deberá escogerla —a no ser que Carolina ya la haya elegido—. Finalmente, elige Antonio.

Por ahora, todos están contentos: Antonio se queda con uno de los trozos originales, que él consideraba iguales, Beatriz con uno de los dos que consideraba más grandes y Carolina fue la primera en elegir, así que no puede sentir envidia de nadie.

Solo queda dividir el recorte —si lo hay—. En tal caso, Carolina lo divide en tres partes que considera iguales y que escogen, por orden, Beatriz, Antonio y Carolina, tomando cada uno el que cree mayor. De nuevo, el reparto es justo: Beatriz es la primera en escoger; Antonio no envidia a Beatriz porque él pensaba que los tres trozos originales eran iguales y Beatriz se quedó con la parte recortada, ni a Carolina porque ha elegido antes que ella; Carolina no tiene envidia de nadie porque dividió los restos en partes que considera iguales.

Y, ¿qué pasa si queremos repartir entre más de tres personas? En 1995, los investigadores Steven Brams y Alan Taylor descubrieron un método que valía para cualquier número de personas. Sin embargo, su propuesta tenía un importante problema: no se puede especificar de antemano cómo de grande es el número de pasos del algoritmo; e incluso el número de cortes: se sabe que es un valor finito —el algoritmo acabará dando el resultado—, pero no se sabe cuál es su valor máximo, depende de la tarta y las preferencias de las personas. De hecho, para cualquier número, tan grande como se quiera, siempre es posible encontrar unas valoraciones de los participantes en el reparto que, para cumplirlas, el algoritmo de Brams y Taylor tenga una cantidad de pasos superior a ese número grande escogido.

En 2016, Haris Aziz y Simon Mackenzie encontraron un procedimiento libre de envidia para cualquier grupo de personas que está acotado y depende solo del número de participantes, aunque deberemos tener algo de paciencia porque el número de pasos en el algoritmo y el número de cortes puede ser impresionantemente alto. Solo con cuatro personas la cota ya es superior al número de átomos del universo. Este es el número máximo de pasos que, a priori, podemos asegurar que tendrá el algoritmo, sean cuales sean las preferencias de las personas, pero no siempre será necesario alcanzarla; si todos cedemos un poco, nos podremos poner de acuerdo antes de que el universo se termine. En cualquier caso, todavía hay mucho margen para mejorar este resultado.

Aunque estos algoritmos puedan resultar exagerados para repartir el roscón, hay situaciones en las que el reparto tiene mayores implicaciones y dividir, incluso el recorte de los trozos, de forma justa, es primordial. Por ejemplo, cuando los aliados partieron Alemania en cuatro zonas después de la II Guerra Mundial, podríamos considerar que el recorte fue Berlín, que también fue dividida en zonas.

David Iglesias y Carlos González son profesores titulares de la Universidad de La Laguna.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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