Números figurados

El truco del pequeño Gauss para sumar mentalmente los 100 primeros números se basaba, como vimos la semana pasada, en formar con ellos 50 parejas que sumaban lo mismo que el primero y el último: (100 + 1) x 50 = 5050. Generalizando a n números, su suma, S, será: S = (n + 1)n/2, que es, por tanto, la fórmula que nos da el valor del enésimo número triangular. Así pues, dados dos números triangulares consecutivos cualesquiera, el enésimo y el enésimo primero, su suma será:

(n + 1)...

El truco del pequeño Gauss para sumar mentalmente los 100 primeros números se basaba, como vimos la semana pasada, en formar con ellos 50 parejas que sumaban lo mismo que el primero y el último: (100 + 1) x 50 = 5050. Generalizando a n números, su suma, S, será: S = (n + 1)n/2, que es, por tanto, la fórmula que nos da el valor del enésimo número triangular. Así pues, dados dos números triangulares consecutivos cualesquiera, el enésimo y el enésimo primero, su suma será:

(n + 1)n/2 + (n + 2)(n + 1)/2 = n²/2 + n/2 + n²/2 + n + n/2 + 1 = n² + 2n + 1 = (n + 1)²

Luego la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto, concretamente, el cuadrado del mayor de los dos números. Es fácil verlo gráficamente, pues los dos números triangulares consecutivos se pueden “acoplar” formando un cuadrado, como se ve en la figura, en la que el tercer y el cuarto número triangular configuran el cuarto número cuadrado.

Una representación gráfica similar nos ayuda a ver que n² es la suma de los n primeros números impares (teorema de Nicómaco).

Hay distintas maneras de demostrar que todo cuadrado perfecto tiene un número impar de divisores. Nuestro comentarista habitual Salva Fuster aporta la siguiente:

Para ver que n² tiene un número impar de divisores, únicamente hace falta ver que, por una parte, n es divisor, pues n x n = n², y por otra, que, si tiene más divisores, siempre vendrán por parejas, pues si a x b = n², siendo a y b distintos de n, uno de ellos será mayor que n y el otro menor.

Y, por tanto, a y b son distintos, luego n2 tendrá una o más parejas de divisores distintos de n más el propio n, o sea, un número impar de divisores; y si añadimos a los divisores el propio n² y el 1, su número sigue siendo impar.

Números y figuras

Los números triangulares y cuadrados son los más conocidos miembros de la familia de los números figurados. Dada la sinonimia de los términos “figurarse” e “imaginarse”, cabría pensar que tienen algo que ver con los números imaginarios, pero en realidad son todo lo contrario: los números imaginarios son inconcebibles, mientras que los figurados se llaman así porque son fácilmente visualizables como figuras geométricas. Por su condición de elementos fronterizos entre la aritmética y la geometría, fueron estudiados por algunos grandes matemáticos de la antigüedad, como Pitágoras, Diofanto de Alejandría y Nicómaco de Gerasa.

Dentro de los números figurados, revisten especial interés los números poligonales, que son aquellos que pueden representarse como conjuntos de puntos equidistantes que configuran polígonos regulares. Los primeros números poligonales son los triangulares y los cuadrados, de los que nos hemos ocupado en las últimas semanas, y, con el mismo criterio, podemos formar los números pentagonales, hexagonales, heptagonales…

Como hemos visto, la secuencia de los números triangulares es 1, 3, 6, 10, 15, 21…, y la de los cuadrados, 1, 4, 9, 16, 25, 36… ¿Cuál es la secuencia de los números pentagonales? ¿Y la de los hexagonales? ¿Hay alguna relación significativa entre las sucesivas secuencias de números poligonales?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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