Ganar juegos usando la mecánica cuántica

Empezamos proponiendo un juego colaborativo para dos jugadores, a los que nos referiremos como Alicia y Berto. El juego se conoce como el cuadrado mágico (magic square game) y la mejor forma de entender sus reglas es considerar un cuadrado como el de la Figura 1. Escogemos una fila del cuadrado de forma aleatoria y le pedimos a Alicia que asigne un cero o un uno a cada una de las tres cajas que forman dicha fila, de forma que la suma total de estos números sea un número par. Análog...

Empezamos proponiendo un juego colaborativo para dos jugadores, a los que nos referiremos como Alicia y Berto. El juego se conoce como el cuadrado mágico (magic square game) y la mejor forma de entender sus reglas es considerar un cuadrado como el de la Figura 1. Escogemos una fila del cuadrado de forma aleatoria y le pedimos a Alicia que asigne un cero o un uno a cada una de las tres cajas que forman dicha fila, de forma que la suma total de estos números sea un número par. Análogamente, le pedimos a Berto una asignación de ceros y unos para las tres cajas que forman una columna al azar, sumando en este caso un número impar. Los jugadores ganan el juego si las asignaciones realizadas coinciden en el elemento de la caja común a la fila y columna escogidas (ver Figura 2).

La dificultad de ganar reside en que los jugadores no pueden comunicarse entre sí durante el juego y, por tanto, Alicia desconoce la columna que le ha tocado a Berto y la asignación que éste ha realizado y viceversa. No obstante, los jugadores pueden reunirse antes de empezar para pactar una estrategia. Si siguen una estrategia determinista, la asignación que van a dar a cada fila y columna debe estar prefijada de antemano. En este caso, una estrategia perfecta (la que gana independientemente de la fila y la columna que se escoja) consistiría en rellenar el cuadrado con ceros y unos de forma que cada fila sume un número par y a la vez cada columna sume un número impar. Se deja como reto probar que esto es imposible (ver Figura 3) y, por consiguiente, no existe una estrategia determinista perfecta para este juego.

Sin embargo, sorprendentemente, sí es físicamente posible implementar una estrategia perfecta para ganar este juego. Hasta ahora hemos asumido implícitamente que los sistemas físicos compartidos por los jugadores para elaborar sus estrategias y elegir sus asignaciones se rigen por las leyes de la física clásica (por ejemplo, un cuadrado con asignaciones como el de la Figura 3). Esto conduce esencialmente a estrategias deterministas. No obstante, si los jugadores pueden compartir sistemas físicos cuyo comportamiento esté gobernado por las leyes de la mecánica cuántica (como, por ejemplo, un par de partículas en un estado cuántico entrelazado), entonces serán capaces de desarrollar estrategias perfectas respetando la restricción de no comunicación. Para ello, los jugadores realizarían las asignaciones correspondientes de acuerdo al resultado que obtendría cada uno después de hacer una determinada medida sobre la partícula del estado entrelazado a la que tiene acceso.

El cuadrado mágico forma parte de una clase de juegos conocidos como juegos no locales. En ellos, la ventaja de las estrategias cuánticas sobre las clásicas es una consecuencia directa del llamado Teorema de Bell, que establece la incompatibilidad de la teoría cuántica con teorías deterministas locales. El ejemplo que hemos considerado da una idea intuitiva de la ventaja cuántica en tareas de procesado de la información. Sobre ella se apoya el desarrollo actual de tecnologías cuánticas tales como sistemas criptográficos o generadores de números aleatorios. Sin embargo, entender qué juegos no locales dan lugar a una ventaja cuántica y cuál es la probabilidad óptima de victoria en cada caso requiere sumergirse de lleno en la compleja estructura matemática de la teoría cuántica.

De manera sorprendente, este tipo de cuestiones están relacionadas con problemas abiertos de la matemática pura que en su formulación nada tienen que ver con juegos ni con la teoría cuántica. Uno de ellos es el problema del isomorfismo de Alain Connes (Connes embbeding problem), formulado en los años 70 en el estudio de las llamadas álgebras de operadores y que todavía hoy está por resolver. Estas álgebras aparecen por primera vez en un artículo del matemático John von Neumann en 1930. Curiosamente, en aquella época von Neumann investigaba también sobre los fundamentos matemáticos de la entonces incipiente mecánica cuántica. Estas dos disciplinas, aunque desarrolladas de forma independiente, han cruzado sus caminos en varias ocasiones. Ahora, casi 100 años después de su nacimiento, vuelven a encontrarse, esta vez en el marco de la teoría de la información.

Este y otros temas relacionados se han tratado en el semestre temático que hemos organizado en el ICMAT de marzo a junio de 2019 y que ha reunido a más de un centenar de investigadores de diversas disciplinas.

Julio de Vicente es profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid.

Fernando Lledó es profesor del Departamento de Matemáticas de la Universidad Carlos III de Madrid y miembro del ICMAT.

Diego Martínez es doctorando de la Universidad Carlos III de Madrid y del ICMAT, así como becario pre-doctoral del proyecto Severo Ochoa.

Carlos Palazuelos es profesor del Departamento de Análisis Matemático y Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: "Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas".

Edición y coordinación: Ágata Timón (ICMAT).

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