Ojo de buen cubero

Si en nuestro monasterio maldito de la semana pasada hubiera habido un solo monje enfermo, al no ver a ningún compañero con la mancha roja en la frente, habría sabido de forma inmediata que era él el infectado y, en consecuencia, se habría suicidado el primer día. De ser dos los infectados, cada uno de ellos habrá pensado: “Si yo no estuviera enfermo, el de la mancha roja no habría visto ninguna y habría sabido enseguida que era él el infectado, y, puesto que no se ha suicidado, es porque ha visto la mancha en mi frente”, y ambos se habrían suicidado el segundo día. Si los infectados hubieran sido tres… Por lo tanto, y siguiendo con este proceso de “lógica secuencial” (las comillas indican el uso poco riguroso de la expresión), los infectados eran siete, pues se suicidaron al cabo de una semana.

El siniestro problema sugiere algunas variaciones sobre el mismo tema. Por ejemplo, la del abad diabólico que miente a sus monjes, como apunta Bretos Bursó, porque quiere deshacerse de todos ellos de una tacada: no hay ninguno infectado —ni siquiera existe tal epidemia— y todos se suicidan el primer día. En el extremo opuesto, si todos estuvieran infectados, incluido el abad, al descubrirlo (el enésimo día, si hay n monjes) no tendría sentido que se suicidaran, ya que no habría nadie sano a quien infectar.

En cuanto al problema de los factores sucesivos, Ramón Jaraba lo resuelve así: “Para hallar los tres números consecutivos que generan 778596 sin calculadora uso aproximaciones rudimentarias. Sé que 100 al cubo es un millón, y busco un número inferior. Pruebo 90 x 91 x 92, y veo que ando cerca, son 753480. Subo un peldaño, 91 x 92 x 93 y, ¡magia!, tengo el 778596. A lo mejor ha sido suerte”.

Más que suerte, es lo que vulgarmente se denomina ojo de buen cubero (OBC), método afín y complementario de la CVA, en el que Fermi era un maestro (en ambos sentidos del término: lo aplicaba con maestría y lo enseñaba a sus alumnos), como hemos visto en más de una ocasión.

Un método menos directo, pero aplicable a números mucho mayores y por ende poco accesibles al mero OBC, consiste en descomponer el número en sus factores primos: 778596 = 2² x 3 x 7 x 13 x 23 x 31, para luego agruparlos de la forma conveniente. En este caso, salta a la vista que tenemos que emparejar 3 con 31, 4 con 23 y 7 con 13.

Con respecto al problema de los sombreros, la primera pregunta es fácil: 6 sombreros se pueden ordenar de 6! (6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720) maneras diferentes, y solo en un caso cada borracho se llevará su sombrero, por lo que la probabilidad es 1/720. Las demás preguntas no son fáciles (ver sección de comentarios de la semana pasada), y me limitaré a reproducir, a título indicativo, la aportación de Manuel Amorós:

“Cuando tenemos n sombreros, las formas en que podemos desordenarlos sin que ninguno vuelva a coincidir se denominan “desarreglos”. Podemos calcular el número de desarreglos con la siguiente expresión: D(n) = n!*(1-1/1!+1/2!-…+(-1)^n*1/n!) Cuando n tiende a infinito, la probabilidad de que ninguno coincida es 1-1/1!+1/2!-…+(-1)^n*1/n!+... que es precisamente la expresión de 1/e, como ha señalado Juan Zubieta. Si aplicamos la anterior expresión para el caso n = 6 obtenemos 265 formas de desordenarlos de manera que ninguno coincida: P = 265/720″.

Respecto a los sombreros y pañuelos, señala Juan Zubieta que, para la primera pregunta, “bastaría con hacer intuitivamente la cuenta inversa, ignorando lo que hay en 2º cajón: la probabilidad de que no salga nada negro es 2/3 por 2/9, y, por tanto, el resultado es 23/27″.

La maqueta de la torre Eiffel

Para terminar, pon a prueba tu OBC contestando intuitivamente esta pregunta:

¿Cuál es el tamaño de una maqueta de hierro de la torre Eiffel, hecha a escala, que pesa un kilo? ¿Será mayor, menor o aproximadamente igual que una botella de litro convencional?