Cartas extraviadas y sombreros cambiados

El ejemplo numérico de CVA propuesto la semana pasada era muy sencillo, pero no por ello menos ilustrativo. Es evidente que los tres números consecutivos cuyo producto es 3360 están comprendidos entre 10 y 20, ya que 10³ = 1000 y 20³ = 8000, y puesto que 3360 termina en 0, uno de los tres ha de terminar en 5, y, por tanto, es el 15, con lo que la terna pedida es 14, 15 y 16. Y este caso tan sencillo indica el camino para abordar otros que no los son tanto, teniendo en cuenta que la vieja de la cuenta tiene hoy fácil acceso a una calculadora. Así, si el producto de tres números consecutivos es 140556, no tenemos más que hallar su raíz cúbica, que es 51,9 aproximadamente, para saber que el número central de la terna es el 52: 51 x 52 x 53 = 140556.

Pero, maldición, tu móvil se ha quedado sin batería y no dispones de la calculadora para hallar tres números consecutivos cuyo producto es 778596, ¿cómo lo haces?

Los monjes suicidas

Un amigo me ha mandado un interesante problema de lógica que, al parecer, recientemente ha circulado por las redes:

Los monjes de un monasterio solo se reúnen una vez al día, para cenar. No pueden hablar, excepto el abad, que un día les dice: “Se ha desatado una terrible epidemia y veo que hay algún monje infectado. El único síntoma es que al enfermo, que no nota nada, le sale una mancha roja en la frente. Quien contraiga la enfermedad deberá suicidarse en cuanto lo averigüe para no contagiar a los demás”.

Al cabo de una semana, al reunirse para cenar, faltan algunos. Se han suicidado, y son todos los que tenían la mancha roja en la frente. En el monasterio no hay espejos. ¿Cómo supieron los monjes suicidas que habían contraído la enfermedad? ¿Cuántos estaban enfermos?

Por cierto, he visto varias versiones del problema aparecidas en distintas publicaciones, y ninguna de ellas contempla una posibilidad que creo que habría que tener en cuenta…

De sobres y sombreros

El problema de los monjes es una variante del clásico de los tres sombreros blancos y los dos sombreros negros, del que hemos hablado en alguna ocasión, y en él, como en otros problemas del mismo tipo, se parte del supuesto de que todos los implicados razonan de forma impecablemente lógica. Veamos ahora otro problema de sombreros en el que, por el contrario, todos actúan de forma irreflexiva:

Seis hombres dejan sus respectivos sombreros en el guardarropa de un bar de copas y al marcharse, bajo los efectos del alcohol, cada uno coge el primer sombrero que tiene a mano, aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que todos cojan su propio sombrero? ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de ellos coja su sombrero? ¿Cuál es la probabilidad de que solo el más joven de los seis coja su sombrero? ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de ellos coja su sombrero?

En realidad, este problema es una versión sombreril del famoso problema de las cartas extraviadas, planteado en el siglo XVIII por el matemático francés Pierre Rémond de Montmort (1678-1719), que lo enunció así:

“Una persona escribió n cartas a n personas diferentes y puso sus direcciones en n sobres. Si introdujo las cartas en los sobres al azar, ¿de cuántas maneras es posible que ninguna de las cartas esté dentro de su sobre correspondiente?”.

Y para terminar, otro problema de sombreros sometidos a los caprichos del azar:

De un cajón con 6 sombreros blancos y 3 negros se saca uno sin mirar. Si el sombrero es blanco, se saca, también sin mirar, un pañuelo de un cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 2 negros y 5 a cuadros blancos y negros. Si el sombrero es negro, se saca un pañuelo de otro cajón que contiene 2 pañuelos blancos, 4 negros y 4 a cuadros.

¿Cuál es la probabilidad de que en al menos uno de los complementos (sombrero o pañuelo) aparezca el color negro?

¿Cuál es la probabilidad de que el sombrero haya sido negro, sabiendo que el pañuelo ha sido a cuadros?