Matemáticas para entender y mejorar la democracia

La democracia es un pilar fundamental de muchas sociedades modernas y su correcto funcionamiento depende en gran medida de sistemas de votación justos y eficientes. Las matemáticas permiten diseñar y comprender estos sistemas desde los trabajos del marqués de Condorcet en el siglo XVIII, que dieron lugar a la teoría de elección social. Esta rama de la economía matemática se centra en entender los procesos de agregación de preferencias e información. Estudia, por ejemplo, cómo los distintos sistemas de votación pasan de las preferencias de los votantes a los resultados de las elecciones.

Una de las cuestiones relevantes a considerar en la teoría de elección es la propiedad de transitividad, que trata de cómo se relacionan entre sí y se organizan las preferencias de un individuo o colectivo. Por ejemplo, imaginemos que estamos eligiendo entre tres tipos de helados: chocolate, vainilla y fresa (A, B y C). La propiedad de transitividad establece que, si preferimos el helado de chocolate al de vainilla, y preferimos el helado de vainilla al de fresa, entonces también deberíamos preferir el helado de chocolate al de fresa. Esto es lo que se espera en un conjunto de preferencias racionales.

Violaciones de esta propiedad conducen a resultados “irracionales”, como el del Dutch book (y en español). Imaginemos que tenemos otras preferencias, ahora intransitivas, sobre los helados: A>B, B>C, C>A. Si, de partida, tenemos helado de chocolate, como preferimos el de fresa, estamos dispuestos a intercambiar el nuestro, junto con una pequeña cantidad de dinero δ (digamos, 1€) por el helado de fresa, por tanto, C>A+δ. A continuación, venderíamos C más una pequeña cantidad de dinero δ' para obtener B, ya que preferimos B sobre C. Finalmente, venderíamos B más una pequeña cantidad de dinero δ'’ para obtener A nuevamente, puesto que preferimos A sobre B. Al final del proceso, volveríamos a tener A, pero habríamos perdido las cantidades de dinero δ, δ' y δ'’ en el proceso.

Las matemáticas permiten diseñar sistemas de votación justos y eficientes, desde los trabajos de Condorcet en el siglo XVIII, que dieron lugar a la teoría de elección social: los procesos de agregación de preferencias de los votantes

Sin embargo, Condorcet mostró que las preferencias a nivel social pueden ser intransitivas, de manera general. Por ejemplo, imaginemos una elección con tres candidatos (A, B y C) y tres votantes con preferencias transitivas: el primero, prefiere a A antes que a B y a B antes que C. El segundo, a B sobre C y a C sobre A. El tercero, a C sobre A y A sobre B.

Por tanto, si votáramos por mayoría a los candidatos por pares, A ganaría a B (dos votos a uno), B ganaría a C (dos votos a uno) y C gana a A (dos votos a uno). Este ciclo de preferencias (A>B, B>C, C>A) es intransitivo, a pesar de que ninguno de los votantes tenía preferencias intransitivas. Como resultado de esta intransitividad, sería posible diseñar un sistema a dos vueltas que dé como ganador al candidato que queramos. Por ejemplo, si queremos que gane C, basta con establecer una primera ronda entre A y B y que el ganador (A) se enfrente a C. Del mismo modo, si queremos que gane A, estableceríamos una primera ronda entre B y C, y el ganador (B) se enfrentaría a A.

El teorema de imposibilidad de Arrow profundiza en esta idea. El economista teórico Kenneth Arrow demostró que, bajo ciertas condiciones razonables, es imposible diseñar un sistema de votación que siempre genere resultados “coherentes”. En otras palabras, no existe un sistema de votación que satisfaga simultáneamente todas las condiciones deseables en un sistema democrático, como la no dictadura —no debe haber un votante cuya preferencia siempre prevalezca—; la condición de Pareto —si todos los individuos prefieren una opción sobre otra, el resultado colectivo también debe reflejar esa preferencia unánime—; y la independencia de alternativas irrelevantes —el resultado entre dos candidatos no debe depender de las preferencias de otros candidatos—.

A pesar de estas limitaciones, otro resultado clásico de Condorcet (el teorema del jurado) ofrece, a priori, una visión más optimista sobre los procesos de decisión. Supongamos que nos enfrentamos a una decisión entre dos opciones y, a diferencia del caso anterior, existe una opción correcta. Por ejemplo, un jurado que debe tomar una decisión sobre la inocencia o culpabilidad de un acusado. Este teorema sugiere que, si cada votante tiene la misma probabilidad mayor al 50% de tomar la decisión correcta, entonces es más probable que acierte un grupo de votantes independientes tomando una decisión por mayoría, en comparación con un individuo por sí solo. Además, a medida que el número de votantes aumenta, la probabilidad de tomar la decisión correcta se acerca al 100%.

El economista Arrow demostró que es imposible diseñar un sistema de votación ‘coherente’. En otras palabras, no existe un modelo que satisfaga simultáneamente todas las condiciones deseables

Por ejemplo, supongamos que un jurado donde cada miembro tiene un 60% de probabilidad de tomar la decisión correcta. Sin embargo, como vemos en la figura, un jurado de 25 personas tendría una probabilidad de casi el 85%.

No obstante, no es realista pensar que todos los votantes tienen la misma probabilidad de acertar y esto es importante para aplicar el teorema. Dependiendo de las probabilidades de cada votante, la probabilidad del jurado de acertar tiende a uno o no, como plantea la tesis del teorema.

Recientemente, siguiendo un enfoque bayesiano, se ha estimado la probabilidad a priori de que la tesis predicha por el teorema se cumpla. Es decir, si elegimos una secuencia arbitraria de votantes con diferentes probabilidades de tomar la decisión correcta, ¿se cumplirá que la probabilidad de acertar del jurado tiende al 100% a medida que aumentamos el número de miembros? La respuesta es no. Más precisamente, si se toma una secuencia aleatoria de probabilidades siguiendo cualquier distribución “simétrica”, la tesis predicha por el teorema no se cumplirá en “casi” todos los casos, esto es, se cumplirá con probabilidad cero.

Estos resultados matemáticos recuerdan la importancia de reflexionar sobre las estructuras y sistemas de votación que utilizamos en nuestras sociedades. Al entender las fortalezas y debilidades de estos sistemas, podemos trabajar en mejorarlos y garantizar que nuestras democracias sean lo más epistémicamente eficientes posible.

Álvaro Romaniega es doctor en Matemáticas por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT) y actualmente es investigador en finanzas estocásticas.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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