Cien años de las ecuaciones que expandieron el universo

Hace 100 años, el matemático y físico ruso Alexander Friedmann (1888-1925) publicó unas ecuaciones que había hallado estudiando la teoría relativista de Albert Einstein. Las llamadas ecuaciones de Friedmann fueron las primeras en describir un universo en movimiento; hasta el momento, nadie –ni el propio Einstein– había concebido un universo –con materia– en expansión. Aquello fue una ruptura teórica similar a la que supuso la teoría de la evolución de Charles Darwin o la teoría de la deriva continental de Alfred Wegener.

Friedmann destacó como matemático en el instituto: ya entonces publicó, en una revista especializada, un artículo sobre los llamados números de Bernoulli, que fue avalado por David Hilbert, una de las figuras más destacadas de la matemática internacional. En aquel periodo Friedmann fue, además, uno de los principales dirigentes de los estudiantes de enseñanza media en la huelga general que siguió a la primera revolución rusa de 1905.

En la universidad siguió publicando resultados sobre matemáticas y física aplicadas a la hidrodinámica, la aerodinámica, la geofísica, la meteorología o la aerología –que estudia las capas superiores de la atmósfera–. Sin embargo, su trabajo más destacado fue en cosmología, es decir, en el estudio del universo al completo como un sistema físico.

Pocos años antes, en 1915, Albert Einstein había establecido la base teórica de la cosmología moderna: la relatividad general, que combinaba diversas ideas sobre la materia, el espacio y el tiempo con la teoría de la gravedad. Inicialmente, Einstein desarrolló su teoría pensando en estrellas, sistemas planetarios y otros sistemas aislados. Pero en 1917, se propuso aplicar sus ideas al universo en su conjunto, para tratar de llegar a un modelo consistente teóricamente.

Buscó la solución más simple, asumiendo que la densidad del universo y la geometría del mismo eran iguales en todas partes y también que todas las direcciones eran equivalentes, es decir, consideró un cosmos homogéneo e isótropo. Además, estableció –ya que le parecía indiscutible– que el estado del universo, a nivel global, era invariable. Hasta el momento, la ciencia siempre lo había considerado de esta manera y las observaciones no parecían indicar lo contrario.

Al analizar sus ecuaciones sobre este modelo estático, Einstein observó, sorprendido, que no existían soluciones: no había valores de densidad ni geometrías constantes en el espacio, que también permaneciesen constantes en el tiempo, que cumplieran sus ecuaciones. Para remediarlo, modificó las ecuaciones originales, añadiendo lo que llamó término cosmológico, que sí permitía obtener soluciones estáticas.

El mismo año, el astrónomo holandés Willem De Sitter halló otra posible solución a las ecuaciones de Einstein: un universo vacío, desprovisto de toda materia. Este resultado alertó al alemán: según su concepción, la geometría del cosmos estaba creada por la distribución de la materia y, en ausencia de esta, las ecuaciones no deberían tener sentido alguno.

En 1922 Friedmann empezó a trabajar en el problema y aunque sí asumió, como sus colegas, que el universo era homogéneo e isótropo, no consideró que fuese estático. De forma ordenada, analizó las ecuaciones bajo estas hipótesis y encontró, por un lado, la solución estática de Einstein y la solución del universo vacío de De Sitter y, por otro, soluciones de un universo con materia en movimiento. Entre ellas, había una gran variedad de casos: aquellos en los que, con el paso del tiempo, el radio de curvatura se incrementa indefinidamente, o aquellos en los que lo hace de forma periódica –el universo se contrae a un punto y luego vuelve a incrementar su radio hasta cierto valor, para después contraerse de nuevo a un punto, y así sucesivamente–.

Aquello suponía un cambio radical en la concepción del cosmos: la evolución, que ya se había asumido en las especies o la formación de la Tierra, también afectaba al universo en su conjunto. Y obtuvo, incluso, una primera aproximación de la edad del universo, de diez mil millones de años –solo tres mil millones por debajo del valor aceptado en la actualidad–. Sin embargo, como Friedmann reconocía, en aquel momento sus modelos eran solo construcciones teóricas y no estaban respaldados por las observaciones experimentales disponibles.

Tres meses después de la publicación de los trabajos de Friedmann, Einstein respondió con un artículo en la misma revista, en el que afirmaba que el resultado principal del ruso era erróneo. Pero, después de discutir en persona con Yuri Alexandrovich Krutkov, quien conocía en detalle el trabajo de Friedmann, Einstein entendió que las soluciones eran correctas y que, efectivamente, representaban otras posibles dinámicas del universo. Reconoció su error en un artículo publicado en mayo de 1923.

En los siguientes años, se obtuvieron cada vez mejores observaciones de las velocidades de las galaxias y se concluyó que, la gran mayoría, aparentaba estar alejándose de la nuestra, como publicó el astrónomo Edwin Hubble en 1929. El sacerdote y científico belga Georges Lemaître conectó este alejamiento de las galaxias con las ecuaciones de Friedmann, concluyendo que el universo está en expansión.

En 1931 Einstein terminó de convencerse del gran valor del trabajo de Friedmann. Es más, consideró la introducción del término cosmológico, que había necesitado para obtener soluciones de un universo estático, su mayor metedura de pata científica: una prueba de cómo sus prejuicios le impidieron ver la expansión que se deducía de sus ecuaciones.

Friedmann pudo librarse de aquella idea de un universo estático, quizás, en parte, por la sociedad y el momento histórico en el que participó, sumamente cambiante y convulso. Nació en San Petersburgo, fue profesor de Matemáticas y Física en la Universidad de Petrogrado y murió en Leningrado: la misma ciudad con tres nombres diferentes, debidos a los grandes cambios políticos de la época. Por otro lado, su profundo conocimiento de la meteorología –que trata sistemas físicos con muchos cambios bruscos– también le pudo hacer considerar otro tipo de dinámicas para describir el cosmos, y aceptar que, como dijo el filósofo griego Heráclito, ¨todo fluye, nada permanece¨.

Ernesto Nungesser es profesor de la Universidad Politécnica de Madrid

Ágata Timón G. Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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