Números poligonales centrados

Los comentaristas deportivos suelen llamarlo “el esférico”, pero el balón de fútbol no es una esfera perfecta, sino un poliedro hinchable que, una vez lleno de aire, se aproxima bastante a la esfericidad. En su versión más habitual, es un poliedro formado por pentágonos y hexágonos regulares. ¿Cuántos son?, nos preguntábamos la semana pasada.

La respuesta es 32: 20 hexágonos y 12 pentágonos. Porque el poliedro futbolístico es un icosaedro truncado. Dividiendo todas las aristas de un icosaedro r...

Los comentaristas deportivos suelen llamarlo “el esférico”, pero el balón de fútbol no es una esfera perfecta, sino un poliedro hinchable que, una vez lleno de aire, se aproxima bastante a la esfericidad. En su versión más habitual, es un poliedro formado por pentágonos y hexágonos regulares. ¿Cuántos son?, nos preguntábamos la semana pasada.

La respuesta es 32: 20 hexágonos y 12 pentágonos. Porque el poliedro futbolístico es un icosaedro truncado. Dividiendo todas las aristas de un icosaedro regular (poliedro formado por 20 triángulos equiláteros iguales) en tres segmentos iguales y truncando cada vértice mediante el plano que pasa por los extremos de los cinco segmentos que concurren en él, cada una de las 20 caras del icosaedro se convierte en un hexágono regular, y cada uno de sus 12 vértices, en un pentágono regular. La fórmula de Euler (C + V = A + 2) nos dice que el icosaedro tiene 30 aristas. ¿Cuántos vértices y aristas tiene el icosaedro truncado?

Una vez hinchado, el poliedro futbolístico ocupa el 95 % de la esfera circunscrita, lo cual es una aproximación bastante buena, pero mejorable. Un rombicosidodecaedro, antes de hincharlo, tiene la misma esfericidad que el icosaedro truncado una vez hinchado, por lo que permite alcanzar, al llenarlo de aire a presión, una redondez casi perfecta. Está formado por 20 triángulos equiláteros, 30 cuadrados y 12 pentágonos regulares, y esta es la razón por la que no ha sido adoptado como modelo para la fabricación de balones a pesar de su idoneidad, pues implicaría coser entre sí casi el doble de piezas (¿con cuántas costuras?).

Las flechas de Mahavira

Volvamos a los números poligonales, de los que nos hemos ocupado en semanas anteriores, pues no podemos despedirnos de ellos sin mencionar la interesante variedad de los poligonales centrados. Como su nombre indica, estos números se construyen de forma similar a los poligonales simples, pero ordenando los polígonos de puntos alrededor de un centro.

Así, los números triangulares centrados empiezan con 1 punto rodeado por otros 3 que son los vértices de un triángulo equilátero (de 2 puntos de lado), rodeado por otro triángulo equilátero de 3 puntos de lado, rodeado por otro de 4 puntos de lado… Y su secuencia será, por tanto:

1, 4, 10, 19…

Análogamente, los números cuadrados centrados se configuran con un punto central rodeado de cuadrados concéntricos de 2, 3, 4… puntos de lado respectivamente, y su secuencia es:

1, 5, 13, 25…

¿Cómo siguen las secuencias? ¿Qué fórmula general nos da el enésimo término?

Hay un problema clásico relacionado con los números poligonales centrados atribuido a Mahavira, matemático indio del siglo IX:

En un carcaj hay un cierto número de flechas formando un apretado haz hexagonal, de forma que en la parte exterior del haz hay 18 flechas. ¿Cuántas flechas hay en el carcaj?

Quienes deseen profundizar en el inagotable tema de los números poligonales centrados, pueden encontrar en el siguiente enlace un interesante artículo de Raúl Ibáñez titulado precisamente El problema de las flechas de Mahavira

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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