Palomas feroces

Nos peguntábamos la semana pasada cuántos triángulos equiláteros más pequeños hacen falta, como mínimo, para recubrir un triángulo equilátero. Dichos triángulos más pequeños no tienen por qué ser iguales y pueden solaparse. La respuesta es 3, y se llega a ella por exclusión de la posibilidad menor: es evidente que con 3 es posible, y no es difícil demostrar (¿cómo?) que con 2 no lo es.

En cuanto al problema de los 5 puntos de un triángulo equilátero, se han propuesto distintas maneras de abordarlo; la más “palomera”, la de Francisco Montesinos:

“Uniendo los puntos medios de los lados del triángulo equilátero original se obtienen 4 triángulos equiláteros de lado 1/2 m. Necesariamente habrá 2 puntos de los 5 dados dentro de un mismo triángulo de estos últimos reducidos, luego su distancia d no podrá ser d>1/2”.

Efectivamente, al dividir el triángulo inicial en 4 triángulos iguales, se crea un palomar de 4 casillas en el que han de acomodarse 5 palomas, o sea, puntos. Y la distancia mayor que puede haber en un triángulo equilátero de lado 1/2 m es precisamente la longitud del lado, por lo que 2 puntos situados en él pueden, como máximo, estar a 1/2 m de distancia (y son, obviamente, los vértices del triángulo).

La solución aportada por Rafael Granero es algo más complicada, pero no por ello menos interesante:

“Ciertamente, hay cuatro puntos que cumplen estar más alejados, e incluso cabe decir que, dados cuatro puntos, son lo más alejados que pueden estar entre ellos: los tres vértices y el centro. El centro se halla a 57,7 cm de cualquiera de los tres vértices. Cualquier movimiento, por pequeño que sea, del punto situado en el centro hará ineludiblemente que la distancia a uno o dos de los vértices disminuya. Y lo mismo vale para cada uno de los situados en los vértices con respecto de los otros tres puntos. Los únicos puntos que distan más de 50 cm del punto central son los que están fuera de una circunferencia de radio 50, con centro en el centro del triángulo equilátero. Pero en cada una de las tres zonas, todos los puntos están a menos de 8 cm del punto más lejano, que es el vértice, por lo que no hay forma de ubicar un quinto punto que esté a más de 50 cm de los otros cuatro”.

Como de pasada, se coló la pregunta de cuán poco probable es que haya que lanzar un dado 13 veces para obtener 3 números iguales, y esta es la respuesta de Juan Zubieta:

“La probabilidad de llegar hasta la tirada 13 es el cociente entre las permutaciones posibles con 6 parejas de números (12!/2^6) y todas las secuencias de tiradas posibles (6^12). El resultado sale: 1925/559872 (aproximadamente una posibilidad entre 291)”. (Recordemos que no se trata de obtener 3 veces un número concreto, por ejemplo el 6, sino de que algún número salga al menos 3 veces).

Palomar de alto riesgo

Tras el entrenamiento de las últimas semanas, y especialmente dedicado a quienes piensan que el principio del palomar es una perogrullada solo aplicable a los problemas más sencillos, he aquí un clásico que mereció la atención del mismísimo Paul Erdös:

Dado el conjunto {1, 2, …, 2n}, demostrar que en cualquier subconjunto de n+1 números habrá al menos dos tales que uno sea múltiplo del otro.

No intentes resolverlo en las horas de máximo calor: las palomas de este palomar de alto riesgo podrían freírte las neuronas.