Los puzles de MacMahon

Para determinar el número de cuadrados de MacMahon, de los que vimos un pequeño avance la semana pasada, Rafael Granero recurre a lo que él mismo denomina la cuenta de la vieja y Salva Fuster matiza diciendo que es “cuenta de la vieja avanzada” (un concepto que habría gustado a Fermi):

“3 colores tomados de 4 en 4 dan como resultado 81 combinaciones. A estas 81 hay que quitarles las combinaciones que, rotando el cuadrado, da como resultado figuras coloreadas iguales. Tenemos 3 resultados con todos los triángulos del mismo color. Estas pasan el filtro.

Tenemos 6 resultados con dos colores dispuestos de forma simétrica alternada (ARAR, por ejemplo), de estos hay que quedarse con 3 y despreciar los otros 3 que se generan girando 90°.

Del resto, 72, que tienen 3 colores dispuestos de forma no simétrica o 2 colores de forma simétrica no alternada (AARR, por ejemplo), 3 de cada 4 son el resultado de girar 90°, 180° y 270° grados uno de ellos, por lo que nos quedamos con 18 y despreciamos 54.

81 - 3 - 54 = 24 = 3 + 3 + 18

Es decir, el número de combinaciones distintas al colorear con tres colores un cuadrado dividido en cuatro triángulos iguales es 24″.

Pero, como señala Juan Zubieta, si la cuenta de la vieja (aunque sea avanzada) nos parece excesivamente rudimentaria, podemos recurrir al lema de Burnside (pero ese es otro artículo).

De momento, centrémonos en las interesantes posibilidades combinatorias de los cuadrados multicolores, que se prestan a proponer distintos retos. Por ejemplo, ¿puedes formar con ellos un rectángulo de 6˟4 tal que los lados de las piezas en contacto sean siempre del mismo color y todo el perímetro del rectángulo sea también del mismo color?

También hay interesantes posibilidades combinatorias utilizando solo una parte de los cuadrados. Por ejemplo:

-Con las 15 piezas de solo uno o dos colores, construir un rectángulo de 3˟5.

-Con las 9 piezas restantes, de tres colores, construir un cuadrado de 3˟3.

Como en el primer puzle, los lados en contacto tienen que ser siempre del mismo color.

Y además de puzles en solitario como los anteriores, los cuadrados de MacMahon se prestan a plantear distintos juegos para dos jugadores inspirados en el dominó (¿se te ocurre alguno?).

En las tiendas especializadas hay versiones en madera o plástico de los cuadrados multicolores. Y no es difícil improvisar una versión casera (por ejemplo, imprimiendo una imagen de los 24 cuadrados sacada de la red, pegándola en una hoja de cartón y recortando las piezas).

Del cuadrado al cubo

Pasando del plano al espacio, y como ampliación del tema de los cuadrados de MacMahon, cabe preguntar de cuántas maneras distintas podemos colorear las seis caras de un cubo utilizando tres colores. Y la respuesta es 57 (¿puedes demostrarlo?).

Una forma de abordar el problema es empezar por el caso trivial de un solo color (obviamente, solo hay una manera de colorear un cubo utilizando un solo color), seguir con dos colores (¿cuántos cubos distintos puede haber en blanco y/o negro?), resolver el caso de los 57 cubos con tres colores… Y, para subir nota, obtener una fórmula general para n colores.