¿Son los números imaginarios imprescindibles para describir la realidad cuántica?

Los números naturales son necesarios para contar los días, los fraccionarios para distribuir una pizza y los reales para medir el tiempo. Más allá de estos tipos de números, en el instituto, a quienes cursan el bachillerato tecnológico, también se les habla de los números imaginarios (o complejos), unos extraños artificios sin aparente uso cotidiano.

Los números complejos surgieron ante la imposibilidad de resolver la ecuación x² = -1 usando números reales, ya que estos, al ser multiplicados por sí mismos, resultan, siempre, en otro positivo. Por ello, los matemáticos introdujeron la unidad imaginaria, i, un ente abstracto que satisface i² = -1. De forma general, los números complejos son aquellos que se pueden escribir como a + bi, donde a y b son números reales. Por ejemplo, 2/7 + 8i.

En un principio, no modelizaban ninguna realidad física, pero, con el paso del tiempo, fueron encontrando aplicaciones. Se comenzaron a usar en campos de la física como la óptica y el electromagnetismo, aunque solamente para simplificar cálculos; todas las derivaciones de estas teorías se pueden enunciar sin usar números complejos. En el desarrollo de la mecánica cuántica, la teoría física que describe el comportamiento de las partículas de menor tamaño, aparecieron los números imaginarios de manera más fundamental: es la única teoría física en cuyos postulados aparece este tipo de números.

Sin embargo, sus ideólogos no estaban satisfechos con el uso de números complejos en los cimientos de la cuántica, pues contradice el hecho de que todo lo medible en un laboratorio es cuantificable con números reales. En una de sus cartas a Hendrik Lorentz, Erwin Schrödinger afirmaba: “Resulta molesto el uso de números complejos. Deberíamos ser capaces de formular la teoría cuántica sin ellos.”

Durante años, algunos científicos trataron de desarrollar, sin éxito, una doctrina cuántica que eludiera los números complejos, mientras otros abogaban por su inevitabilidad. Dando argumentos a esta segunda postura, en 2021, un grupo internacional de científicos, con amplia participación española, idearon un experimento que, de ser llevado a cabo, demostraría que los números imaginarios son imprescindibles en la teoría cuántica.

Desde el punto de vista teórico, no es más que un juego, similar al que John Bell diseñó en 1964 para demostrar que la mecánica cuántica queda fuera del alcance de la física clásica. En el juego participan tres jugadoras, Alicia, Belén y Carla, y un árbitro, que en cada ronda realiza simultáneamente una pregunta a cada una de ellas. Las jugadoras conocen de antemano qué trío de respuestas deben usar para responder correctamente a cada trío de preguntas y ganar la ronda del juego, pero se encuentran en habitaciones separadas, por lo que desconocen las preguntas realizadas a sus dos compañeras, de las cuales depende la respuesta correcta. Antes de comenzar pueden reunirse y acordar una estrategia. Además, pueden acceder a un recurso extra para coordinar sus respuestas: partículas cuánticas entrelazadas.

Los porcentajes de victoria en el juego vienen dados por unos valores (denominados normas) asociados a ciertas funciones (las llamadas formas multilineares), que se estudian en análisis funcional. La clave del juego propuesto reside en las predicciones teóricas, ya que permiten estimar el porcentaje de victorias que obtendrían las jugadoras si tuvieran acceso a partículas entrelazadas descritas por una teoría cuántica que solo emplea los números reales, y también en el caso de disponer de partículas de una teoría basada en números imaginarios. Además, aseguran que el primer porcentaje es menor que el segundo. Como consecuencia, para verificar la necesidad de números complejos, basta con jugar muchas rondas de este juego y obtener un porcentaje de victorias mayor que el predicho por la teoría basada en números reales.

Pese a la sencillez de la propuesta, reproducir el juego requiere manipular partículas cuánticas, lo que supone un desafío desde el punto de vista práctico: se han de manejar sistemas a -270ºC, cercanos al cero absoluto de temperatura; o controlar partículas de luz, fotones, con alta precisión. Ya ha habido varios experimentos que lo han conseguido, pero no de forma totalmente satisfactoria. La comunidad cuántica confía en que el experimento se realizará de manera plena, quedando establecido de que los números imaginarios son inevitables para describir el mundo físico.

Francisco Escudero Gutiérrez, investigador predoctoral del Centro de Matemáticas e Informática de los Países Bajos (CentrumWiskunde & Informatica, CWI)

Edición y coordinación: Ágata Timón (Instituto de Ciencias Matemáticas)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.