Dobble, el juego de mesa que esconde geometrías avanzadas

En los últimos años, el Dobble —conocido también como Spot It!— se ha convertido en uno de los juegos de mesa más populares entre niños y adultos. Se han vendido millones de copias en sus varias temáticas —además de la tradicional, tiene versiones de Harry Potter, de Frozen o de Star Wars—. Pese a su sencillez (gana básicamente quien sea más rápido) su diseño está basado en un área de las matemáticas conocida como geometría proyectiva.

El Dobble cuenta con 55 cartas, cada una con ocho símbolos diferentes, dispuestos de manera que, siempre, al coger dos naipes cualesquiera, tienen un único símbolo en común. Al comenzar la partida se reparte una carta a cada jugador y se coloca el resto en una pila, boca arriba. La primera persona que identifica el símbolo que comparte su carta con la de la pila central, se la queda, mostrándose una nueva carta en el centro. El proceso se repite hasta agotar los naipes, y gana quien más haya acumulado. Pues bien, este sencillo pasatiempo se puede entender como una versión finita de la llamada geometría proyectiva.

La geometría proyectiva es una rama de las matemáticas que captura la idea de perspectiva, es decir, de cómo percibimos los objetos desde nuestro punto de vista como observadores. Por ejemplo, aunque las dos vías del tren son paralelas —permanecen siempre a la misma distancia la una de la otra—, al situarse encima de ellas y mirar en la dirección en la que se alejan, se crea la sensación de que se acercan hasta cruzarse en el horizonte.

En la geometría proyectiva se formaliza esta idea y se establece, como propiedad fundamental del espacio, que cualquier par de rectas se cruza en un único punto. Este punto estará dentro del espacio, si las rectas se cortan en él; o bien será un punto en el infinito, si son paralelas, como en el caso de las vías del tren. Así, el plano proyectivo es una manera de ampliar el plano usual —también llamado cartesiano—, añadiendo a cada recta un punto del infinito, en el que dicha línea se corta con todas sus paralelas. La unión de todos los puntos del infinito forma, a su vez, una recta en el infinito —la línea del horizonte, en la analogía de las vías del tren—, que también tiene asociado un punto extra en el infinito.

En su versión finita —la que aparece reflejada en el Dobble—, estas geometrías cambian un poco. Las líneas, en vez de estar formadas por cantidad infinita de puntos, como se enseña en la escuela, solo contienen un número finito de ellos, como sucede en una pantalla de televisión, donde cualquier línea —cualquier imagen, de hecho— tiene un número finito de píxeles. El Dobble se corresponde con una geometría proyectiva finita concreta, en la que cada línea tiene exactamente ocho puntos —siete puntos en el espacio más uno en el infinito—. En el juego, los puntos son los símbolos que aparecen en las cartas y, cada carta, es una recta. Como ocurre en el plano proyectivo, cada dos líneas tienen exactamente un punto en común, es decir, cada dos cartas tienen exactamente un símbolo en común.

Así, el plano proyectivo del Dobble se puede visualizar como un plano de 7 x 7 puntos al que se añade una recta en el infinito, con su punto extra. En total, este plano proyectivo tiene 7^2 + 7 + 1 = 57 puntos. Aplicando un teorema básico de la geometría proyectiva, se deduce que el número de puntos tiene que ser igual al número de rectas; por tanto, hay también 57 rectas, o en nuestro caso, 57 cartas. Pero, ¡el Dobble tiene 55! El motivo por el que sus diseñadores eligieron 55 naipes en vez de 57 permanece como un misterio. Si tienes curiosidad, y también paciencia y tiempo, puedes tratar de descubrir cuáles son las dos cartas que faltan.

Javier Aramayona es científico titular del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Stefano Francaviglia es catedrático de la Universidad de Bolonia, Italia.

Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

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