Los misterios de los conjuntos de Sidon

En ciertas áreas de las matemáticas abundan enigmas que se formulan de un modo elemental y que, sin embargo, requieren técnicas complejas e ideas variadas para su estudio. Un buen ejemplo es el caso de los llamados conjuntos de Sidon. En los años 30 del siglo pasado, el matemático húngaro Simon Sidon estaba desarrollando ciertos trabajos en el campo del análisis, cuando se topó con un tipo de conjuntos de números que captó su interés. Sidon compartió sus preguntas sobre estos conjuntos con el prolífico matemático Paul Erdős quien, cautivado por el tema, los llamó conjuntos de Sidon y les dedicó numerosos trabajos a lo largo de su vida.

Una colección de números enteros es un conjunto de Sidon si las diferencias entre distintos números de la colección son todas distintas entre sí. Por ejemplo, el conjunto {1, 2, 4} es de Sidon, pues las posibles diferencias de los tres números –es decir, 2-1 = 1, 4-2 = 2 y 4-1 = 3– son distintas; el conjunto {1, 3, 5}, en cambio, no es de Sidon, pues la diferencia 2 se repite dos veces (2 = 3-1 = 5-3).

Una de las primeras cuestiones que propuso Sidon a Erdős fue la de saber cuál es el mayor tamaño –es decir, número de elementos– que puede tener un conjunto de Sidon contenido en un intervalo de números dado. Por ejemplo, dentro del intervalo [1, 35] = {1, 2, 3, …, 35}, se verifica sin dificultad que el conjunto S = {1, 2, 4, 8, 16, 32}, de tamaño 6, es un conjunto de Sidon, pero, ¿existen conjuntos de Sidon más grandes en este intervalo? De modo más general, si fijamos un número entero N, ¿cuán grande puede ser un conjunto de Sidon dentro del intervalo [1, N]? Se puede definir una función F(N), cuyo valor para cada entero N es el tamaño máximo que puede tener un conjunto de Sidon dentro de [1, N]. Así, el problema consiste en encontrar una fórmula de F(N) en función de N.

En el ejemplo anterior, el conjunto S indica que el valor de F(35) es al menos 6. Podemos mejorar esta estimación, observando que el conjunto {1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35} también está en ese intervalo, tiene ocho elementos y también es de Sidon, con lo cual podemos afirmar que F(35) es al menos 8. Resulta que, usando un argumento un poco más complicado, se puede demostrar que no existe un conjunto de Sidon con 9 elementos en [1, 35], por lo que podemos concluir que F(35) es 8. Cuando N toma valores mayores, el problema de determinar F(N) se complica. De hecho, el problema de hallar una fórmula general para calcular F(N), para cualquier valor de N, es uno de los enigmas centrales sobre los conjuntos de Sidon, y aún hoy en día sigue sin solución completa, aunque recientemente se han producido avances interesantes.

Estos resultados recientes siguen una línea importante de investigación en este campo, que se centra en encontrar aproximaciones de F(N) con la mayor precisión posible. Como punto de partida, es sencillo ver que F(N) tiene como cota superior (2N)¹ᴵ² +1/2. Efectivamente, para cualquier conjunto de Sidon S en el intervalo [1, N] con F(N) elementos, se cumple que todas las diferencias (positivas) de cada par de elementos distintos de S son números distintos, con valor entre 1 y N-1. Por tanto, no puede haber más pares de elementos de S que números entre 1 y N-1. Sabiendo que el número total de estos pares es F(N) (F(N) - 1)/2, se deduce la cota superior para F(N) mencionada. Por otro lado, para números N grandes, se han hallado construcciones de conjuntos de Sidon cuyo tamaño alcanza N¹ᴵ². Uniendo las dos últimas frases, podemos afirmar que el valor exacto de F(N) está entre N¹ᴵ² y (2N)¹ᴵ² +1/2.

Los conjuntos de Sidon generalizados a dimensión dos –considerando, en lugar de números enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras– se pueden usar en diseños eficientes de sistemas de sonar y de antenas, en la distribución de claves en redes de celulares, y en criptografía

Con más ingenio y trabajo, Bernt Lindström demostró en 1969 que F(N) es siempre menor que N¹ᴵ²+N¹ᴵ⁴+1. Reducir esta cota marcadamente resultó ser muy difícil. Erdős llegó a ofrecer 500 $ a quien consiguiera una mejora sustancial de la cota de Lindström. Durante más de medio siglo la cuestión permaneció sin gran avance hasta que, recientemente, József Balogh, Zoltán Füredi y Souktik Roy consiguieron dar un paso notable, estableciendo la nueva cota superior N¹ᴵ²+0.998·N¹ᴵ⁴+1 para F(N), aún pendiente de publicación.

Sin duda, este resultado habría interesado mucho a Erdős. También le habría encantado a quien fue un gran impulsor de la teoría combinatoria de números en España, nuestro amigo y compañero Javier Cilleruelo, profesor de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT, quien falleció hace cinco años. Entre sus numerosas y variadas contribuciones, Cilleruelo obtuvo importantes resultados sobre conjuntos de Sidon que le llevaron a ser conocido como uno de los mayores expertos en este tema a nivel internacional. Sus trabajos también dieron lugar a nuevas líneas de investigación en este campo que están en pleno auge; de hecho, recientemente investigadores del ETH Zürich, Caltech, la Universidad de Stanford y el MIT han obtenido avances significativos en estos temas.

Estos son solo algunos ejemplos de cómo los conjuntos de Sidon –unas estructuras matemáticas aparentemente sencillas– siguen generando nuevas preguntas y avances de investigación casi 90 años después de su descubrimiento. Es más, este tema se extiende más allá de la teoría de números, con ramificaciones en otros campos y también con aplicaciones tecnológicas. Por ejemplo, los conjuntos de Sidon generalizados a dimensión dos –considerando, en lugar de números enteros, puntos en el plano con coordenadas enteras– se pueden usar en diseños eficientes de sistemas de sonar y de antenas, en la distribución de claves en redes de celulares, y en criptografía.

Pablo Candela es profesor en la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT).

Juanjo Rué es professor Agregat de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC), investigador del Instituto de Matemáticas de la UPC (IMTech) e investigador del Centre de Recerca Matemàtica (CRM).

Ágata Timón es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del ICMAT.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

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