Lotería y matemáticas

La probabilidad de que nuestra madre de la semana pasada tenga otro hijo varón podría parecer del 50 %, ya que hay las mismas probabilidades de que nazca un niño o una niña, y esa probabilidad es independiente del sexo del otro hijo. Y así sería si supiéramos, por ejemplo, que el hijo mayor de Ana es niño: en ese caso, la probabilidad de que el segundo también fuera niño sería del 50 %. Pero no sabemos cuál de los hijos es niño, por lo que las posibilidades equiprobales son: niño-niño, niño-niña, niña...

La probabilidad de que nuestra madre de la semana pasada tenga otro hijo varón podría parecer del 50 %, ya que hay las mismas probabilidades de que nazca un niño o una niña, y esa probabilidad es independiente del sexo del otro hijo. Y así sería si supiéramos, por ejemplo, que el hijo mayor de Ana es niño: en ese caso, la probabilidad de que el segundo también fuera niño sería del 50 %. Pero no sabemos cuál de los hijos es niño, por lo que las posibilidades equiprobales son: niño-niño, niño-niña, niña-niño, niña-niña, de las que en este caso se descarta la última. Por tanto, solo una de cada cuatro parejas con dos hijos tiene dos niños, y solo una de cada tres de las que tienen al menos un niño, tienen dos. De modo que la probabilidad pedida no es 1/2, sino 1/3.

La situación es equivalente a la de lanzar una moneda dos veces. Si sale cara, la probabilidad de que en el siguiente lanzamiento salga otra cara es del 50 %; pero si nos dicen que en los dos lanzamientos ha salido al menos una cara, sin especificar en cuál de los dos, tenemos tres posibilidades equiprobables: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara.

El del hijo de Carlos no parece un acertijo lógico, y sin embargo lo es (Fermi podría habérselo planteado a sus alumnos, junto con el del número de afinadores de pianos de Chicago). Lo más probable es que el nombre sin ninguna letra de “Carlos” tenga un máximo de dos vocales, pues cuantas más letras, más difícil que ninguna sea una de las seis prohibidas. Por tanto, seguramente será, en lo que a las vocales se refiere, de una de estas formas: e-e, i-i, u-u, e-i, e-u, i-e, u-e, i-u, u-i. Algunas posibilidades, como u-u, se descartan rápidamente, y añadiendo consonantes a las más viables no es difícil encontrar la solución: Quintín. Hay otro nombre que cumple la condición, aunque es muy poco conocido fuera de Catalunya: Medín (Medir en catalán), cuya fiesta se celebra el 3 de marzo en el barcelonés barrio de Gracia. Y nuestro comentarista habitual Bixen Etxebeste (cuyo propio nombre también valdría si no fuera exclusivamente vasco) ha descubierto otro que yo desconocía, Hemming, válido a pesar de lo exótico, pues está incluido en el santoral: San Hemming de Abo, obispo sueco del siglo XIV.

Puesto que el gen del albinismo es recesivo, ambos progenitores han de ser portadores para tener un hijo albino, y este ha de recibir el gen de ambos, por lo que solo 1 de cada 4 hijos de parejas de portadores será albino. Y como hay 1 albino por cada 10.000 personas, significa que en 1 de cada 2.500 parejas ambos miembros son portadores. Por lo tanto, 1 de cada 50 personas (50 x 50 = 2.500) es portadora del gen. (Este razonamiento no es absolutamente riguroso desde el punto de vista genético, pero sí fermianamente aproximado).

El trabalenguas de las edades solo nos dice que, llamando x a la diferencia de edad entre las dos primas, una tiene 4x años y la otra 5x. Pero x = 3 es la única posibilidad de que una sea una niña y la otra una adolescente, como indica el enunciado, por lo que tienen 12 y 15 años respectivamente.

El último acertijo de la semana pasada es el típico “engañabobos” en el que solemos caer si contestamos apresuradamente. Si hay tres hijas y cada una tiene un hermano, son cuatro en total, ya que el hermano lo es de todas.

Las tablas de Hiltner

Otro comentarista habitual, Ignacio Alonso, y en relación con el inagotable tema de las paradojas probabilísticas, ha compartido este enlace relativo a las estrategias propuestas por el matemático Edvin Hiltner para aumentar las probabilidades de ganar al jugar a la lotería:

En estas fechas de locura loterística, someto estas estrategias a la crítica de mis sagaces lectoras/es.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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