Smullyan, el infinito y algo más

Quedó pendiente la cuestión, planteada hace un par de semanas, de demostrar que el conjunto de todos los conjuntos finitos de N (siendo N el conjunto de los números naturales, es decir, enteros y positivos) es numerable. La demostración más clara y sencilla se puede encontrar en el excelente libro de Raymond Smullyan Satán, Cantor y el infinito (que no es la primera vez que cito en esta sección ni será la última):

Hay un solo subconjunto de N cuyo número mayor es 1: {1}; hay dos subcon...

Quedó pendiente la cuestión, planteada hace un par de semanas, de demostrar que el conjunto de todos los conjuntos finitos de N (siendo N el conjunto de los números naturales, es decir, enteros y positivos) es numerable. La demostración más clara y sencilla se puede encontrar en el excelente libro de Raymond Smullyan Satán, Cantor y el infinito (que no es la primera vez que cito en esta sección ni será la última):

Hay un solo subconjunto de N cuyo número mayor es 1: {1}; hay dos subconjuntos de N cuyo número mayor es 2: {1, 2} y {2}; hay cuatro subconjuntos de N cuyo número mayor es 3: {1, 2, 3}, {1, 3}, {2, 3} y {3}, etc. En general, para cualquier número n hay 2 elevado a n-1 subconjuntos de N cuyo número mayor es n. Podemos ir numerando sucesivamente, para cada n, los subconjuntos cuyo número mayor es n, y por tanto el conjunto de los subconjuntos finitos de N es numerable.

En función de lo anterior, es más fácil abordar un reto planteado por Luca Tanganelli: demostrar que el conjunto de los números racionales (Q) es numerable.

En otro orden de cosas, el acertijo de los dos cubos, del que nos hemos ocupado en las semanas anteriores y que nos llevó al inagotable tema de los problemas “cocinados”, me ha recordado otro clásico del acervo popular:

Tenemos tres vasos y 12 monedas, que hemos de distribuirlas entre los vasos de manera que en el segundo haya el doble de monedas que en el primero y en el tercero el doble que en el segundo. Si no se puede, demostrar que es imposible.

Y hablando de problemas cocinados, he aquí la forma de disponer más de 6 cigarrillos de manera que cada uno toque a todos los demás:

Queda pendiente la cuestión, planteada la semana pasada, de demostrar que, este sí, es el máximo posible.

El planeta Og

El jocundo demonio de Satán, Cantor y el infinito no tiene nada que envidiar al de Descartes ni al de Maxwell en lo que a golpes de efecto y paradojas se refiere. Pero no es el único personaje peculiar del fascinante libro de Smullyan, y entre los más peculiares hay que mencionar a los habitantes del planeta Og.

Al igual que en el Marte de Edgar Rice Burroughs, en Og hay dos razas, los rojos y los verdes. Los rojos nacidos en el hemisferio norte del planeta mienten siempre, mientras que los verdes nacidos en dicho hemisferio siempre dicen la verdad; y viceversa: los sureños rojos siempre dicen la verdad y los sureños verdes mienten siempre.

En una noche oscura, te encuentras con un oguiano cuyo color no puedes distinguir, Solo puedes hacerle una pregunta de las que se contestan con un sí o un no. ¿Qué pregunta le harías para averiguar su color? ¿Y para averiguar de qué hemisferio es oriundo?

Más oguianos:

Dos oguianos de diferente color hacen las siguientes afirmaciones:

-Mi compañero es norteño -dice uno.

-Ambos somos norteños -dice el otro.

¿Qué se puede deducir de estas declaraciones?

Y otro más:

Un antropólogo visita el planeta Og y le dice a un nativo:

-Me han dicho que en cierta ocasión dijiste que en Og no hay rey.

-No es cierto -contesta el oguiano.

-¿Alguna vez has dicho que en Og hay un rey?

-Sí, lo he dicho.

¿Es sincero el oguiano? ¿Hay un rey en Og?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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