Las tres figuras

En relación con las cuadrículas de puntos, un tema recurrente que volvió a surgir la semana pasada, dice Salva Fuster: “Yo diría que para una cuadrícula de tamaño nxn podemos unir todos los puntos sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por un mismo trazo con 2(n-1) trazos rectilíneos, salvo en el caso de la cuadrícula de 2x2, que requeriría tres trazos. Ahora bien, habría que demostrar que es imposible hacerlo con menos trazos”.

Por cierto, para la cuadrícula de 4x4 hay una solución distinta de la mostrada en la figura, con varios vértices de la línea quebrada exteriores a la misma. ¿Puedes hallarla? (Pista: es una elegante solución simétrica).

Y con respecto al rectángulo y las fichas que se desplazan, dice Rafael Granero: “C se desplaza hasta la mitad de su lado largo (en paralelo a AB).

B se desplaza, en paralelo a la nueva línea AC, hasta que está a la altura del lado donde está C, con lo que se queda alineado con C. A ser desplaza en paralelo a la línea BC hasta que está en la mitad de su lado largo. Y ya tenemos los puntos A y C en la mitad de los lados largos, y B por los cerros de Úbeda”.

Y allí seguirá B hagamos lo que hagamos, pues es imposible situar las tres fichas en los puntos medios de tres de los lados del rectángulo. Al desplazarse uno de los vértices paralelamente a la línea determinada por los otros dos, el área del triángulo ABC permanece constante, puesto que no varían ni la base ni la longitud de la altura, y su valor es 1/2 del área del rectángulo, mientras que el área de un triángulo con los vértices en los puntos medios de tres lados sería 1/4 de la del rectángulo.

En cuanto a los radios de las circunferencias exinscritas, Luis Ortiz propone un ingenioso abordaje: “Los radios de las circunferencias exinscritas de un triángulo de lados 3, 4 y 5 tienen una longitud de 2, 3 y 6, problema que se resolverá a continuación por ecuaciones. Los lados del triángulo cumplen el teorema de Pitágoras, por lo que se trata de un triángulo rectángulo. Se hacen coincidir los catetos con los ejes x e y de un sistema cartesiano, de forma que los vértices del triángulo tengan las siguientes coordenadas: A(0,0), B(4,0) y C(0,3)”. A partir de aquí, la demostración es sencilla (no la incluyo completa por cuestiones de espacio).

Círculos, triángulos y rectángulos por doquier

En las últimas semanas hemos hablado de círculos, triángulos y rectángulos, que, casualmente (o tal vez no), son las tres figuras geométricas que vemos por todas partes.

La omnipresencia de las ruedas de todo tipo de vehículos en nuestra sociedad motorizada bastaría para explicar el predominio de los círculos; pero también los encontramos en otros muchos objetos, como las tapas de los frascos y de las alcantarillas o las hojas de los sables.

Es evidente que las ruedas de los vehículos y las tapas de muchos frascos han de ser redondas, puesto que tienen que girar manteniéndose iguales a sí mismas; pero las tapas de las alcantarillas podrían ser cuadradas, o rectangulares, o elípticas… Sin embargo, hay al menos tres razones de peso (nunca mejor dicho) para que sean circulares. ¿Cuáles son estas tres razones? ¿O hay más de tres?

Y sin necesidad de ser expertos en armas blancas, podemos afirmar sin temor a equivocarnos que la curvatura de la hoja de un sable o una katana es un arco de circunferencia. ¿Por qué?

En cuanto a los triángulos, hay una razón poderosa (nunca mejor dicho) para que los veamos continuamente en todo tipo de estructuras, desde las torres de los tendidos eléctricos hasta las cúpulas geodésicas, pasando por la mismísima torre Eiffel. ¿Cuál es esa poderosa razón?

Y no es casual que las cajas, los ladrillos, las paredes, las hojas de papel y tantas otras cosas sean rectangulares (u ortoédricas, que viene a ser lo mismo en 3D), hasta el punto de que Le Corbusier dijo que el ángulo recto es nuestro pacto de solidaridad con la naturaleza. ¿A qué se refería?