Las simetrías de las ecuaciones del universo

“La naturaleza es siempre más sutil, más compleja y más elegante que lo que somos capaces de imaginar”, afirmaba el divulgador científico Carl Sagan. Desde hace siglos, la física se ocupa de imaginar y comprender el funcionamiento del universo, para después describirlo empleando ecuaciones matemáticas. Sin embargo, en muchas ocasiones, las ecuaciones que se plantean son muy difíciles de resolver o interpretar. Por suerte, hay una interesante característica de algunos sistemas físicos que nos ayuda en esta labor: la simetría.

Los sistemas con simetría permanecen invariantes al aplicarles cierta transformación. Por ejemplo, el cuadrado posee una simetría de rotación, ya que si lo giramos 90 grados (o sus múltiplos, 180, 270…) en torno a su centro, se mantiene igual. No obstante, si elegimos un ángulo distinto de los anteriores, el cuadrado resultante no coincide con el inicial. En este caso, cuando solo algunos ángulos son válidos, decimos que la simetría es discreta. En contraposición, hay otras figuras, como la circunferencia, que quedan invariantes frente a cualquier rotación en torno a su centro. Este segundo tipo de simetría se denomina continua.

A principios del siglo XX, Emmy Noether (1882-1935), una de las personalidades más importantes de la historia de las matemáticas, descubrió que estas simetrías continuas ayudan a entender las leyes físicas y a resolver sus ecuaciones. El famoso teorema de Noether, una de sus muchas contribuciones a las matemáticas y a la física teórica, afirma que, cuando un sistema físico posee una simetría continua, aparece una cantidad que se conserva durante la evolución del sistema. Esto nos permite simplificar las ecuaciones, pues la función matemática que representa dicha cantidad es constante.

Un ejemplo importante son los sistemas en los que las leyes físicas que los rigen no cambian con el tiempo –es decir, el resultado de los experimentos no depende del instante en el que los llevemos a cabo, siempre que mantengamos las condiciones en las que tiene lugar–. Estos sistemas poseen, por tanto, simetría bajo traslaciones temporales, así que, según el teorema de Noether, se conserva una cierta cantidad: la energía mecánica –la suma de su energía cinética y su energía potencial–. Es el caso de la atracción gravitatoria: al dejar caer un objeto al suelo, la gravedad lo atrae con la misma intensidad hoy, mañana o dentro de unos años. Aplicando el teorema de Noether, se puede afirmar que la energía mecánica del objeto se mantiene constante durante su caída.

Aunque este teorema constituye una herramienta fundamental para entender y simplificar los sistemas que poseen simetrías, todavía se puede ir más allá. Esto es lo que hicieron durante los años 70 del siglo pasado matemáticos como Kenneth Meyer, Jerrold Marsden o Alan Weinstein en la denominada teoría de reducción. La principal idea de esta teoría es utilizar las simetrías continuas para simplificar la geometría de los sistemas, reduciendo su dimensión. A su vez, esto conlleva una disminución del número de variables de las ecuaciones.

Veamos qué significa esto con un ejemplo. Supongamos que queremos describir una vasija de arcilla elaborada con un torno. Debido al movimiento de rotación con el que ha sido creada, la vasija tiene simetría de revolución. En consecuencia, para conocer el diseño de toda la vasija es suficiente con conocer su perfil. Así, se ha reducido la geometría de la vasija (un volumen) a la geometría de su perfil (una superficie) gracias a la simetría de revolución. Es más, podemos estudiar cualquier proceso que respete esta simetría solamente analizando lo que sucede en el perfil. Por ejemplo, para saber cómo se calienta al ser expuesta a una fuente de calor –que respete esta simetría– basta con conocer la evolución de la temperatura a lo largo del perfil.

Tanto la teoría de reducción, como el teorema de Noether surgieron dentro de la mecánica geométrica —la formalización de la mecánica clásica como una rama de la geometría diferencial—, pero posteriormente fueron extendidos a las llamadas teorías de campos, que constituyen una generalización de las ideas de la mecánica geométrica a contextos más amplios. Esto hace que sean de utilidad en un gran número de problemas físicos, desde cuestiones de la mecánica de fluidos, hasta de la física de partículas elementales. Por ejemplo, la ecuación del movimiento correspondiente a una fuerza de Lorentz —la fuerza que experimenta una partícula cargada eléctricamente sumergida en un campo magnético— se obtiene aplicando este proceso de reducción.

A pesar de estos avances, siguen apareciendo nuevos retos en el estudio de los espacios reducidos y de las ecuaciones correspondientes que la investigación actual está tratando de resolver, lo que convierte a la teoría de la reducción en un campo todavía en desarrollo y con un gran potencial.

Álvaro Rodríguez Abella es investigador predoctoral en el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT)

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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