Cara, cruz o canto

En las últimas semanas hemos hablado de los dados, sus distintos tipos, la distribución de los números en sus caras y las probabilidades que entran en juego (nunca mejor dicho) al lanzar un par de dados a la vez.

Como vimos, junto al dado cúbico de toda la vida, con las caras numeradas del 1 al 6, han surgido dados cúbicos atípicos, como los de Sicherman, y dados poliédricos de 4, 8, 12, 20… caras, que han proliferado debido al auge de los juegos de rol. Y, desde siempre, la tradicional moneda que se lanza al aire para decidir algo “a cara o cruz”, ha oficiado como dado de dos caras....

En las últimas semanas hemos hablado de los dados, sus distintos tipos, la distribución de los números en sus caras y las probabilidades que entran en juego (nunca mejor dicho) al lanzar un par de dados a la vez.

Como vimos, junto al dado cúbico de toda la vida, con las caras numeradas del 1 al 6, han surgido dados cúbicos atípicos, como los de Sicherman, y dados poliédricos de 4, 8, 12, 20… caras, que han proliferado debido al auge de los juegos de rol. Y, desde siempre, la tradicional moneda que se lanza al aire para decidir algo “a cara o cruz”, ha oficiado como dado de dos caras.

Pero en realidad una moneda tiene tres “caras”: el anverso, el reverso y el canto. En la práctica, la probabilidad de que una moneda caiga de canto es despreciable; pero no en la teoría. En condiciones ideales (suelo perfectamente horizontal y liso, ausencia de vibraciones y microcorrientes de aire), una moneda de dimensiones convencionales podría caer de canto del orden de una de cada 10.000 veces, aunque en el mundo real sea prácticamente imposible.

Obviamente, la probabilidad de que una moneda cayera de canto aumentaría si las monedas fueran más gruesas. Una moneda de 1 euro tiene 23.25 milímetros de diámetro y 2.125 milímetros de grosor, y esta relación de aproximadamente 10 a 1 es habitual en las monedas de uso común. ¿Qué grosor debería tener una moneda de 1 euro para que la probabilidad de que cayera de canto no fuera despreciable?

Nuestro comentarista habitual Luca Tanganelli va un paso más allá y se pregunta qué grosor debería tener una moneda, en relación con su diámetro, para que la probabilidad de sacar “canto” fuera equivalente a la de sacar cara o cruz (con lo que la “moneda gorda” podría servir como dado de tres caras). Sería ingenuo pensar que para ello bastaría que la superficie lateral del cilindro-moneda fuera igual a la de sus bases, pues ni siquiera en un dado poliédrico de caras desiguales la probabilidad es proporcional a la superficie. No es una cuestión puramente geométrica, sino un complejo problema de física.

Una solución fermiana

Como comenté en su día al hablar de los “problemas de Fermi”, el gran físico italiano era famoso por su habilidad para llegar a soluciones muy aproximadas a partir de datos insuficientes, y solía estimular la creatividad de sus estudiantes invitándolos a hacer lo propio. Por ejemplo, en una ocasión les pidió que hicieran una estimación razonable de cuántos afinadores de pianos había en Chicago.

Aplicando el “método de Fermi” al problema de la moneda gorda, podemos partir de la evidencia de que un cilindro cuya altura fuera el doble que su diámetro rara vez caería de pie al lanzarlo al aire. Por tanto, la relación grosor-diámetro de la moneda de canto equiprobable ha de estar, en principio, entre 1/10 (moneda convencional que nunca cae de canto) y 2/1 (cilindro que casi siempre cae de canto), por lo que una primera aproximación podría ser la moneda-cilindro de razón 1/1.

De hecho, pegando entre sí ocho monedas de 5 céntimos he fabricado una “moneda gorda” con una relación grosor-diámetro de 3/4 (y una superficie lateral el triple que la de cada cara), y al lanzara repetidas veces obtengo una proporción de cantos similar a la de caras y cruces. Invito a mis sagaces lectoras/es a repetir el experimento con un número creciente de monedas pegadas, y a sacar sus propias conclusiones.

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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