La moneda más pesada

La demostración de que el conjunto de los números racionales (Q) es numerable, planteada la semana pasada, es equivalente a la de que lo son todas las parejas de números enteros posibles, ya que los números racionales son los que se pueden expresar mediante una fracción, y una fracción queda determinada por un par de números enteros, el numerador y el denominador.

Hay una sola pareja de números naturales que suman 2: 1-1; hay dos parejas que suman 3 (si tenemos en cuenta el orden): 1-2...

La demostración de que el conjunto de los números racionales (Q) es numerable, planteada la semana pasada, es equivalente a la de que lo son todas las parejas de números enteros posibles, ya que los números racionales son los que se pueden expresar mediante una fracción, y una fracción queda determinada por un par de números enteros, el numerador y el denominador.

Hay una sola pareja de números naturales que suman 2: 1-1; hay dos parejas que suman 3 (si tenemos en cuenta el orden): 1-2 y 2-1; hay tres parejas que suman 4: 1-3, 2-2 y 3-1, etc. Dado cualquier número natural n, hay un número finito de parejas que suman n, por lo que podemos ir numerándolas por orden creciente para todo n. Y cada pareja de números naturales se convierte en una fracción sin más que sustituir el guion por una barra, /, que indique que dividimos el primer número de la pareja por el segundo. De este modo numeraríamos todos los racionales positivos, y basta repetir el proceso con el signo cambiado para numerar también los negativos. Obsérvese que, de este modo, no solo numeramos todos los números racionales, sino que cada número se numera infinitas veces, ya que 1/3 = 2/6 = 3/9 = 4/12… Otra paradoja del infinito: esta infinitud de infinitos no es de orden superior al infinito de los números naturales y es de orden inferior al infinito de los números irracionales.

El problema de las 12 monedas en los tres vasos parece imposible de resolver; pero con un poco de pensamiento lateral, la solución es sencilla

El problema de las 12 monedas en los tres vasos parece imposible de resolver; pero con un poco de pensamiento lateral, la solución es sencilla: metemos 3 monedas en el primer vaso, 3 en el segundo y 6 en el tercero, y luego metemos los vasos uno dentro de otro, como se suele hacer para guardarlos cuando hay muchos: el segundo dentro del tercero y el primero dentro del segundo. De este modo, dentro del primer vaso hay 3 monedas, dentro del segundo hay 6 y dentro del tercero hay 12.

Por cierto, la versión “clásica” de este acertijo-broma es con 9 monedas en lugar de 12. ¿Cuál es la solución en este caso?

Y una variante más: distribuir 6 monedas entre tres vasos de manera que en cada uno de ellos haya un número impar de monedas.

La falsa moneda

Ya hemos resuelto el problema de las 12 monedas en los tres vasos, y ahora nos dicen que una de las monedas es falsa y pesa un poco más que las demás. Se trata de averiguar cuál es la falsa moneda comparándolas en una balanza en el menor número de pesadas posible.

Y si en vez de 12 mondas tenemos 27, una de las cuales es falsa y pesa un poco más que las demás, ¿cuántas pesadas necesitaremos para identificarla? ¿Y si hay 81 monedas y una falsa que pesa más que las auténticas?

Los anteriores acertijos son variantes más sencillas del clásico problema de las 12 monedas, planteado por primera vez en 1945, y que ha sido objeto de interesantes estudios y generalizaciones. En esta versión, no sabemos si la moneda falsa pesa más o menos que las buenas, lo cual complica bastante la solución.

Y en otro orden de cosas, ¿qué tiene que ver la moneda de la ilustración con el contenido de este artículo?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellos ‘Maldita física’, ‘Malditas matemáticas’ o ‘El gran juego’. Fue guionista de ‘La bola de cristal’.

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