¿Qué se esconde tras la letra del DNI?

El número del DNI sirve para identificarnos de forma única y se elige ordenadamente de entre un lote de números que la Dirección General de la Policía facilita de manera aleatoria a cada comisaría. Sin embargo, la letra se determina, a partir del número asignado, de acuerdo con un algoritmo matemático. Esto sirve tanto para detectar posibles errores como falsificaciones.

Este algoritmo se basa en la llamada aritmética modular o del reloj, que se utiliza para describir procesos cíclicos, como el paso del tiempo con las horas del día, los días o los meses. Después de las doce vuelve a ser la una, después del último día del mes vuelve a ser día uno y al finalizar diciembre comienza enero. En esta aritmética contamos de manera cíclica, es decir, al llegar a un cierto número —que llamamos el módulo— volvemos a empezar.

Podemos imaginarlo como un reloj cuyas horas son números enteros consecutivos, que recorremos cíclicamente. Por supuesto, estos relojes no tienen por qué tener 12 horas, sino que podemos crearlos con cualquier número entero. Además, tienen otra particularidad: empezamos a contar desde cero, por lo que un reloj de, por ejemplo, ocho horas, tiene los números del cero al siete.

La aritmética modular fue estudiada por primera vez de forma sistemática por Carl Friedrich Gauss en su famoso Disquisitiones Arithmeticae de 1801. Gauss definió la congruencia de la siguiente manera: dos números enteros a y b son congruentes módulo otro número n si el resto de dividir (sin decimales) a y b entre n es el mismo. Esto es equivalente a que b - a sea múltiplo de n. Por ejemplo, 6 y 18 son congruentes módulo 12. Es decir, al dividir 6 entre 12, obtenemos como cociente 0 y como resto 6 y, por otro lado, al dividir 18 entre 12, nos queda cociente 1 y resto también 6. En el reloj, esto significa que las 18 son las 6.

Al igual que en nuestra numeración usual, en la aritmética modular también podemos operar: si tenemos dos pares de números que son congruentes módulo n, también lo serán sus sumas; y lo mismo ocurre para la resta y multiplicación.

Para el DNI se utiliza la congruencia módulo 23. El procedimiento consiste en calcular el resto de dividir el número del DNI entre 23. En función de este resto, se le asigna una letra de acuerdo con la tabla que se muestra en la imagen inferior.

Así, si al introducir nuestro DNI cometemos algún pequeño error, el nuevo número no se corresponderá con la letra introducida y saltará un aviso en cualquier ordenador. Pero, ¿por qué se hace solo con 23 letras y no con todo el alfabeto? La O y la I se descartan por su gran parecido con el 0 y el 1. Por otra parte, la Ñ podría dar problemas en el extranjero. Si consideramos las 24 letras restantes, el proceso no será suficientemente fiable. Esto se debe a la gran cantidad de divisores que tiene el número 24.

En particular, si cambiamos una cifra, podríamos obtener dos números que tengan asignada la misma letra. Supongamos que cambiamos un dígito de entre los cinco primeros sumándole o restándole 3, por ejemplo, si escribimos 27526803 en vez de 27523803. Al hacer ese cambio, la diferencia con el número original es un 3 seguido de al menos tres ceros (por ejemplo, en nuestro caso, 3000), que es siempre múltiplo de 24. Por tanto, ambos números son congruentes módulo 24 y corresponden a la misma letra.

Sin embargo, considerando módulo 23, que es un número primo, no podrían darse este tipo de errores. Al cambiar un solo dígito, la diferencia entre los dos números es una única cifra seguida de ceros, que nunca será múltiplo de 23. Así que se elimina una letra cualquiera, la U, quedándonos con 23 y un sistema mucho más fiable.

La letra del DNI no es el único dígito de control que se calcula con congruencias: también el IBAN de las cuentas bancarias. Además, esta aritmética es de gran importancia en criptografía. Sin ir más lejos, el clásico cifrado César, que consiste en desplazar el alfabeto un número fijo de posiciones, es una aplicación directa de las congruencias. Por ejemplo, en César 5 se cambia cada letra por la que se encuentra cinco más adelante, es decir, A se cambia por F, B por G, etcétera. Trabajamos módulo 27, así que las últimas letras del alfabeto se cambiarán por las primeras. Por ejemplo, ‘Congruencias’ se escribiría ‘Htrlwzjrhnfx’. Otros métodos más modernos y seguros, como RSA, también se basan en congruencias. Este utiliza propiedades más complejas de la aritmética modular, como la existencia y características de los elementos inversos.

Alba García Ruíz y Javier Peñafiel son investigadores predoctorales en el Instituto de Ciencias Matemáticas

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón G Longoria (ICMAT).

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