Matemáticas para capturar el caos cuántico

El caos es un fenómeno bien entendido en el mundo macroscópico, es decir, aquel que sigue las leyes de la mecánica clásica de Isaac Newton. Aparece en aquellas situaciones cuya evolución muestra una dependencia extrema de las condiciones iniciales. O, lo que es lo mismo, cuando dos trayectorias que empiezan muy próximas pueden convertirse con el tiempo en situaciones muy diferentes, lo que impide predecir su futuro. El matemático y meteorólogo Edward Lorenz plasmó este comportamiento en el conocido efecto mariposa: “El aleteo de las alas de una mariposa en Brasil puede desencadenar un tornado en otra parte alejada del planeta”. Pero, ¿qué sucede a escala muy pequeña, en situaciones en las que aparecen efectos cuánticos? Aunque la ciencia no tiene aún hoy en día una definición precisa, sí existen fuertes indicios de que el caos también se manifiesta a nivel cuántico.

La descripción que proporciona la mecánica cuántica del mundo es muy poco intuitiva: no existen trayectorias sino una interpretación probabilística, basada en la llamada función de onda, que se calcula resolviendo una complicada ecuación en derivadas parciales propuesta por Erwin Schrödinger. Cuando esta función se refiere a una partícula –un electrón, por ejemplo– el cuadrado de su valor da la probabilidad de encontrarla alrededor de cada punto.

Pero no podemos definir el caos buscando una alta sensibilidad a las condiciones iniciales de las funciones de ondas, ya que la diferencia entre dos funciones muy parecidas crece con el tiempo de forma muy modesta. Ahora bien, encontramos ciertas funciones de onda que muestran características del movimiento clásico caótico: la probabilidad se acumula en órbitas periódicas y se anula en el resto del espacio.

Desde el punto de vista matemático estas órbitas periódicas son objetos fascinantes y representan el único remanente de orden cuando solo impera el caos. En la perspectiva clásica, los trabajos pioneros de Henri Poincaré demostraron que permiten entender y dar sentido al caos, pues sus propiedades imponen unas reglas definidas. Más tarde Stephen Smale, con su paradigmático mapa de la herradura, mostró la estructura intrincada que existe cerca de las órbitas y que da forma al caos. Desde el punto de vista cuántico, Martin C. Gutzwiller reconoció su importancia desarrollando una teoría del caos de los sistemas cuánticos.

Eric Heller también estudió la influencia de las órbitas periódicas en la distribución de probabilidad de funciones de ondas, y acuño el término de cicatrices cuánticas para describir el fenómeno. Según este investigador, aunque en mecánica cuántica no haya trayectorias, las funciones de onda ‘saben’ de su existencia, a través de algún tipo de estructura subyacente, una especie de esqueleto que sea capaz de soportar la estructura de la función de onda.

Para entender este resultado se utiliza la aproximación semiclásica a la teoría cuántica. Esta es una teoría híbrida que describe el mundo superponiendo a las trayectorias –de la mecánica clásica– una onda especial –de la mecánica cuántica–, cuyas propiedades fueron definidas por Louis de Broglie. Bajo esta óptica, una trayectoria caótica vaga por el espacio y su onda asociada interfiere consigo misma sin ningún patrón. Sin embargo, cuando la trayectoria se orienta de forma adecuada, la onda se refuerza y vuelve gigantesca, como en un tsunami, y es cuando se observa la influencia de las órbitas periódicas en las funciones de onda.

Las aproximaciones semiclásicas demuestran la existencia del esqueleto en el espacio. En ausencia de caos, este esqueleto resulta de resolver las ecuaciones que describen la evolución del sistema en cada una de las direcciones del espacio, y toma la forma de un toro, una superficie con forma de rosquilla. Sin embargo, como descubrió Henri Poincaré, el caos destruye esos toros, dejando solo el entramado de órbitas periódicas muy inestables. Entonces, estas órbitas configuran el esqueleto. Como ocurre con el cuerpo humano, la carne y demás tejidos necesitan apoyarse en una estructura ósea, que aunque invisible al exterior se evidencia por protuberancias en la piel –igual que las cicatrices cuánticas– o puede estudiarse mediante rayos X –que en nuestro caso sería la teoría semiclásica–.

Florentino Borondo es catedrático de la Universidad Autónoma de Madrid y miembro del ICMAT.

Fabio Revuelta es profesor de la Universidad Politécnica de Madrid.

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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