Sobre mates y mitos

Es frecuente hoy en día escuchar que las matemáticas están presentes en muchos aspectos de la vida moderna: en los avances tecnológicos, en la toma de decisiones macroeconómicas, en la organización logística del mundo conectado… Sin embargo, algunos de los problemas matemáticos que tratan de resolver los especialistas del siglo XXI tienen un origen muchísimo más antiguo, incluso mitológico.

Uno de esos problemas lo encontramos en la leyenda de la princesa fenicia Dido. Unos 1000 años antes de nuestra era, Dido fue obligada a huir de su ciudad por las amenazas de su hermano, que no estaba dispuesto a compartir el trono como era deseo del anterior rey. Tras varias aventuras, llegó con una escuadra a las costas de África, donde un gobernante local le dio permiso para ocupar temporalmente el trozo de tierra que fuera capaz de cubrir con la piel de un toro. Dido ordenó cortar la piel en tiras finísimas y atarlas para obtener una cuerda de longitud considerable, y rodeó con ella un terreno en el que fundaría la célebre ciudad de Cartago.

Si la cuerda tenía una longitud fija y Dido quería tener una ciudad lo más grande posible, con una buena salida al mar, ¿qué forma habría de dibujar con la cuerda? ¿Sería mejor rodear un terreno cuadrado, o circular, o con forma de triángulo? Esta cuestión da nombre al llamado problema isoperimétrico: encontrar la forma óptima de un terreno que se pueda delimitar por una cuerda de longitud dada, de manera que se consiga un objetivo concreto, como por ejemplo obtener el área más grande. En esta, su versión más simple, la solución es muy sencilla: Dido debe trazar una circunferencia con la cuerda.

El problema se complica de muchas maneras que dan lugar a un amplio y fructífero campo de investigación matemática, con muchas preguntas sin resolver. Por ejemplo, ¿Cuál es la solución si el espacio ambiente (el terreno, en el ejemplo de Dido) no es un plano sino una superficie o, en general, un conjunto de cualquier dimensión con curvatura –con lo que la cuerda sería una superficie de dimensión uno menos que el ambiente?

Cientos de años antes de la hazaña de Dido, se fecha –dentro de la niebla del tiempo que envuelve los sucesos mágicos– la historia del joven Teseo. Buscando conocer a su padre Egeo, de quien creía ser hijo ilegítimo, emprendió un peligroso viaje hasta Atenas en el que se enfrentó a varios bandidos, siendo el más famoso Procrustes, traducido como “el que estira”. Se trataba de un tabernero que convencía a los viajeros para pasar la noche en su posada, y les hacía dormir en una cama de hierro. Si el viajero era demasiado bajo, Procrustes le estiraba brutalmente en un potro de tortura hasta que alcanzase la longitud exacta. Si era demasiado alto, el criminal le cortaba los pies hasta donde fuera necesario para hacerle encajar en su lecho a la perfección.

Tal crueldad ha dado nombre al conocido como problema de Procrustes. Consiste en, dados dos objetos –dos matrices–, encontrar la manera de girar uno de ellos –más concretamente, multiplicar una de las matrices por una matriz llamada ortogonal– para que se superponga del modo más exacto al otro. Este tipo de cálculo se emplea para resolver multitud de problemas que van desde la logística de un aeropuerto hasta las comunicaciones inalámbricas. En las aplicaciones del problema es frecuente que haya que manejar objetos muy complejos, que corresponden a matrices de gran tamaño. Por ello, se estudian los mejores métodos numéricos para resolverlo, buscando hacerlos lo más rápidos y eficaces que sea posible.

Otro desafío matemático aparece en el mito del gigante Argos Panoptes, un guardián implacable cuyo cuerpo estaba cubierto de ojos capaces de mirar en todas las direcciones. La diosa Hera, esposa de Zeus, había llamado a la criatura para vigilar a la joven Ío, a quien su marido había embrujado para conquistarla y posteriormente convertido en vaca para evitar ser descubierto.

El problema matemático consiste en encontrar la forma ideal de colocar puntos en un cuerpo cualquiera. Por ejemplo, lugares donde ubicar sensores para analizar la calidad media del aire de una ciudad, o puntos representativos para calcular la temperatura media de un océano. O encontrar la forma de repartir un número de puntos en una esfera (o en otro cuerpo) con la propiedad de que el producto de las distancias mutuas sea lo más grande posible. Este último es el problema número siete de la famosa lista “Mathematical Problems for the Next Century”, sobre la que trabajan cientos de investigadores en todo el mundo.

Todas estas cuestiones matemáticas tienen un importante significado teórico, y aplicaciones en muy diversos problemas de física, logística, biomatemática e ingeniería, pero también un lado humano, que de alguna forma los ligó a la mente de los cuentacuentos que hace siglos nos dejaron el maravilloso legado de la mitología.

Carlos Beltrán e Irene Olmo son investigadores de la Universidad de Cantabria

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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