La medida de todas las cosas

¿Por qué los humanos necesitamos medirlo todo? ¿Es porque buscamos compararnos con los demás? ¿Es por envidia, por demostrar lo que somos, lo que tenemos? ¿Es porque necesitamos referencias, tablas de medir y estadísticas que nos digan cuál es nuestro lugar en el mundo? La geometría, la probabilidad y el análisis matemático explican, a su manera, cómo sucumbimos a esta obsesión.

Estas tres ramas, a pesar de sus diferencias por las técnicas y problemáticas que suelen abordar, hallan un fructífero punto de encuentro en la llamada teoría de la medida. Esta es un área de las matemáticas que se comenzó a formalizar a finales del siglo XIX y principios del XX, de la mano de matemáticos franceses como Émile Borel, Maurice Fréchet, Camille Jordan y Henri Lebesgue. Una de las motivaciones principales en aquel momento era desarrollar una teoría de integración que resolviera ciertos problemas que presentaba la integral de Riemann, relacionados con procesos infinitos. Por ejemplo, ¿es posible medir el conjunto de los números racionales (los que podemos escribir como fracción de enteros)? ¿Hay más racionales o irracionales? La respuesta vino de observar que el conjunto de números racionales se puede meter dentro de la unión infinita de intervalos, de longitud tan pequeña como queramos. Esta idea dio lugar a la definición de medida/integral de Lebesgue, y a comprender que pueden existir conjuntos medibles y no-medibles.

Para poder calcular mediciones de la forma sencilla, la propiedad clave es que volumen, área y longitud son invariantes por rotaciones y traslaciones

Podríamos preguntarnos, por ejemplo, si cualquier tipo de objeto sólido es medible, y, de ser así, cómo podríamos medirlo. Desde el punto de vista geométrico, algunas medidas de un objeto pueden ser la longitud, en una dimensión, el área, en dos dimensiones y el volumen, en tres. Conocemos fórmulas para calcular volúmenes de ciertas figuras geométricas (la esfera, el cono, los prismas…) Así, para calcular el volumen de sólidos más complicados, podríamos descomponerlos en trozos más sencillos (cuyo volumen conozcamos) y trasladarlos o girarlos. Siempre que no podamos meterlos en la bañera, como haría Arquímedes.

Pero este proceso de descomposición y recomposición, ¿valdrá siempre? A comienzos del s. XX los matemáticos se dedicaron a estudiar esta operación. En concreto, se plantearon si dados dos poliedros del mismo volumen, era posible descomponer el primero en una cantidad finita de poliedros más pequeños que se pudieran ensamblar para obtener el segundo. Este problema se incluyó en la famosa lista propuesta por el matemático alemán David Hilbert en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1900.

En el estudio de este problema surgió el concepto de valuación, que generaliza las nociones de longitud, área y volumen. De forma simplificada, una valuación es una función definida en cierta familia de conjuntos, que cumple el principio de inclusión-exclusión, que dice que la suma de la valuación de dos conjuntos es igual a la valuación de la unión de esos dos conjuntos, más la valuación de su intersección.

El problema en dimensiones mayores sigue abierto, fomentando esta, quizás sana, obsesión por las medidas que tiene el ser humano

En 1901, Max Dehn –alumno de Hilbert– resolvió el problema de su maestro y, tal y como éste conjeturaba, demostró que no siempre era posible realizar la descomposición y composición de un poliedro a otro. Para ello, Dehn describió un intrincado caso en el que era imposible hacerlo. Fue el primer problema resuelto del listado de Hilbert. Curiosamente, la misma pregunta sobre polígonos del plano tiene respuesta afirmativa (es el llamado teorema de Wallace–Bolyai–Gerwien, propuesto a comienzos del siglo XIX).

Pero para poder calcular mediciones de la forma sencilla que hemos indicado antes, la propiedad clave es que volumen, área y longitud son invariantes por rotaciones y traslaciones. ¿También lo son las valuaciones? No todas, pero disponemos de un catálogo de las que sí: gracias al teorema de Hadwiger hemos podido clasificar todas las valuaciones sobre cuerpos sólidos convexos (en cualquier dimensión) que son también invariantes por rotaciones y traslaciones.

El teorema de Hadwiger ha sido fundamental en el desarrollo de las desigualdades isoperimétricas, campo al que contribuyó de manera notable el matemático catalán Luis Santaló, y que tiene profundas implicaciones en teoría de números, ecuaciones diferenciales o en geometría de espacios de Banach. Santaló hizo su tesis doctoral en la Universidad de Hamburgo bajo la dirección de Wilhelm Blaschke, antes de exiliarse a Argentina como consecuencia de la Guerra Civil y la dictadura franquista, y demostró la famosa desigualdad de Blaschke-Santaló.

Del trabajo de Santaló surgieron muchas otras preguntas, como la conjetura de Mahler. Esta conjetura formaliza la idea de que los conjuntos convexos más puntiagudos en un espacio son esencialmente cubos y octaedros, mientras que los más redondeados serían esferas o, más en general, elipsoides. Recientemente, los matemáticos japoneses Hiroshi Iriyeh y Masataka Shibata la han resuelto en dimensión tres, pero el problema en dimensiones mayores sigue abierto, fomentando esta, quizás sana, obsesión por las medidas que tiene el ser humano.

Pedro Tradacete es investigador distinguido del Consejo Superior de Investigaciones Científicas en el ICMAT

Ignacio Villanueva es profesor titular de la Universidad Complutense de Madrid y miembro del ICMAT

Café y Teoremas es una sección dedicada a las matemáticas y al entorno en el que se crean, coordinado por el Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), en la que los investigadores y miembros del centro describen los últimos avances de esta disciplina, comparten puntos de encuentro entre las matemáticas y otras expresiones sociales y culturales y recuerdan a quienes marcaron su desarrollo y supieron transformar café en teoremas. El nombre evoca la definición del matemático húngaro Alfred Rényi: “Un matemático es una máquina que transforma café en teoremas”.

Edición y coordinación: Ágata A. Timón García-Longoria (ICMAT)

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