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Dilemas irresolubles

¿Pueden las dos opciones de un dilema ser ambas ventajosas?

Laurence Olivier, en el papel de Hamlet.
Laurence Olivier, en el papel de Hamlet.

Es fácil hallar la fórmula de la suma de los términos de una progresión aritmética, como se pedía la semana pasada, razonando como lo hizo el pequeño Gauss, es decir, observando que el primer término más el último suman lo mismo que el segundo más el penúltimo, el tercero más el antepenúltimo, etcétera. Por lo tanto, si sumamos el primer término y el último y multiplicamos el resultado por el número de términos, obtendremos el doble de la suma total. Llamando n al número de términos, a al primero y z al último, y S a la suma de todos los términos, S = (a + z)n/2.

En cuanto a la condición que ha de cumplir un número natural para que al restarle su “invertido” (o sea, con las cifras en orden inverso) el resultado sea divisible por 9, la respuesta es… ninguna. No ha de cumplir ninguna condición, pues si a un número cualquiera se le resta su invertido se obtiene un múltiplo de 9. ¿Por qué?

Extrañas opciones

Hablando de rarezas numéricas, José María Cairo trajo a colación una vieja paradoja que dio bastante que hablar (ver comentarios de la semana pasada a partir del 49):

Pedimos a dos personas que escriban cada una de ellas un número natural tan grande como quieran. Miramos el primer resultado y pensamos: sí, es muy grande, pero hay un número finito de números naturales menores y un número infinito de números naturales mayores por lo que la probabilidad de que la otra persona haya escrito un número mayor se puede considerar que vale 1. Pero si hubiéramos mirado primero el segundo número habríamos llegado a una conclusión similar pero inversa. ¿Cuál es la explicación?

Esta paradoja (¿o es una falacia?) recuerda otras del mismo tipo que han aparecido alguna vez por estas páginas. Como la de los dos sobres con dinero:

Te muestran dos sobres con dinero para que elijas uno de ellos, y te dicen que en uno de los sobres hay el doble que en el otro. Escoges uno y en su interior hay 100 euros; puedes quedártelo o cambiarlo por el otro, en el que habrá 50 euros o 200. En un caso pierdes 50 euros y en el otro ganas 100, y ambos casos son igualmente probables, por lo que te conviene cambiar. Pero si hubieras elegido el otro sobre en primer lugar, valdría el mismo razonamiento, y al cambiar de sobre tendrías en la mano el que ahora tienes. ¿Cómo es posible?

O la famosa paradoja de las corbatas:

Dos amigos se encuentran por la calle y, tras elogiar cada cual la corbata del otro, llegan al siguiente acuerdo: cada uno dirá lo que le ha costado su corbata y el que tenga la más cara se la regalará al otro. Cada uno de ellos piensa: “Es un trato ventajoso, puesto que tengo las mismas probabilidades de ganar que de perder, y si gano obtengo una corbata más valiosa que la que me arriesgo a perder”. ¿Cómo es posible que el trato sea ventajoso para ambos?

Carlo Frabetti es escritor y matemático, miembro de la Academia de Ciencias de Nueva York. Ha publicado más de 50 obras de divulgación científica para adultos, niños y jóvenes, entre ellosMaldita física, Malditas matemáticasoEl gran juego. Fue guionista deLa bola de cristal

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